Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且當(dāng)和時所對應(yīng)的函數(shù)值相等．一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象分別交于， 兩點，點在第一象限．

（）求二次函數(shù)的表達式．

（）連接，求的長．

（）連接， 是線段得中點，將點繞點旋轉(zhuǎn)得到點，連接， ，判斷四邊形的性狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】（1）根據(jù)當(dāng)x=0和x=5時所對應(yīng)的函數(shù)值相等，可得（5，c），根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）聯(lián)立拋物線與直線，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得B、C 的坐標(biāo)根據(jù)勾股定理，可得AB的長；

（3）根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得M點的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得MN與BM的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得答案.

解：（）當(dāng)時．即．

把 代入解析式．

，∴，

∴．

（）∵，∴， ．

∴， ，

∴．

（）四邊形為矩形．

證：∵為中點，∴．

又∵，∴四邊形為平行四邊形．

又∵，∴．

在中．

．

∴，

∴四邊形為矩形．

“點睛”本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)值相等得出（5，c）是解題關(guān)鍵，又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用解方程組得出交點坐標(biāo)，又利用了勾股定理；利用了平行四邊形的判定；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.