Question

若關(guān)于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且x₁x₂有下列結(jié)論：①x₁=2,x₂=3；②m>；③二次函數(shù)y=(x-x₁)(x-x₂)+m的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)和(3,0).其中正確的結(jié)論是__________(填正確結(jié)論的序號(hào))

Answer 1

②③．

試題分析：將已知的一元二次方程整理為一般形式，根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可對(duì)選項(xiàng)②進(jìn)行判斷；再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積為6-m，這只有在m=0時(shí)才能成立，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；將選項(xiàng)③中的二次函數(shù)解析式整理后，利用根與系數(shù)關(guān)系得出的兩根之和與兩根之積代入，整理得到確定出二次函數(shù)解析式，令y=0，得到關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可對(duì)選項(xiàng)③進(jìn)行判斷．
試題解析：一元二次方程（x-2）（x-3）=m化為一般形式得：x²-5x+6-m=0，
∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂，
∴b²-4ac=（-5）²-4（6-m）=4m+1＞0，
解得：m＞-，故選項(xiàng)②正確；
∵一元二次方程實(shí)數(shù)根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=6-m，
而選項(xiàng)①中x₁=2，x₂=3，只有在m=0時(shí)才能成立，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；
二次函數(shù)y=（x-x₁）（x-x₂）+m=x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂+m=x²-5x+（6-m）+m=x²-5x+6=（x-2）（x-3），
令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，
解得：x=2或3，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為（2，0）或（3，0），故選項(xiàng)③正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)：②③．
考點(diǎn): 1.拋物線與x軸的交點(diǎn)；2.一元二次方程的解；3.根的判別式；4.根與系數(shù)的關(guān)系．