Question

如圖①，在等腰直角三角板ABC中，斜邊BC為2個(gè)單位長(zhǎng)度，現(xiàn)把這塊三角板在平面直角坐標(biāo)系xOy中滑動(dòng)，并使B、C兩點(diǎn)始終分別位于y軸、x軸的正半軸上，直角頂點(diǎn)A與原點(diǎn)O位于BC兩側(cè)．
（1）取BC中點(diǎn)D，問(wèn)OD+DA是否發(fā)生改變，若會(huì)，說(shuō)明理由；若不會(huì)，求出OD+DA；
（2）你認(rèn)為OA的長(zhǎng)度是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，那么OA最長(zhǎng)是多少？OA最長(zhǎng)時(shí)四邊形OBAC是怎樣的四邊形？并說(shuō)明理由；
（3）填空：當(dāng)OA最長(zhǎng)時(shí)A的坐標(biāo)（

2

，

2

），直線OA的解析式

y=x

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到OD=

1

2

BC=2×

1

2

=1，則不隨三角板的移動(dòng)而改變，因而OD+DA不會(huì)改變；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得到當(dāng)O、D、A三點(diǎn)在一直線上時(shí)，OA最長(zhǎng)，即可求解；
（3）當(dāng)O、D、A三點(diǎn)在一直線上時(shí)，OA最長(zhǎng)，且此時(shí)OA是第一象限的角平分線，據(jù)此即可求解．

解答：解：（1）OD=

1

2

BC=2×

1

2

=1，則OD+DA=2．

（2）∵OD=DA=1始終不變，
∴當(dāng)O、D、A三點(diǎn)在一直線上時(shí)，OA最長(zhǎng)等于2．
這時(shí)，四邊形OBAC的對(duì)角線相交于點(diǎn)D，有DO=DB=DA=DC=1，OA=BC=2，
∵四邊形OBAC是矩形，
又∵AB=AC，
∴四邊形OBAC是正方形．

（3）A（

2

，

2

）  
直線OA是∠BOC的角平分線，則解析式是：y=x．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正確理解OD的長(zhǎng)度不變是解題的關(guān)鍵．