Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+8（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），

B（4，0）與y軸交于點(diǎn)C．

（Ⅰ）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求△BCD的面積；

（Ⅲ）若直線CD交x軸與點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD與點(diǎn)F，將拋物線沿其對(duì)稱軸向上平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究拋物線最多可以向上平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度（直接寫(xiě)出結(jié)果，不寫(xiě)求解過(guò)程）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線的解析式：y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，頂點(diǎn)D（1，9）；（Ⅱ）6；（Ⅲ）72.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，通過(guò)對(duì)解析式進(jìn)行配方能得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（Ⅱ）先求出直線BC解析式，進(jìn)而用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

（Ⅲ）首先確定直線CD的解析式以及點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，若拋物線向上平移，首先表示出平移后的函數(shù)解析式；當(dāng)x=﹣8時(shí)（與點(diǎn)E橫坐標(biāo)相同），求出新函數(shù)的函數(shù)值，若拋物線與線段EF有公共點(diǎn)，那么該函數(shù)值應(yīng)不大于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)．當(dāng)x=4時(shí)（與點(diǎn)F的橫坐標(biāo)相同），方法同上，結(jié)合上述兩種情況，即可得到函數(shù)圖象的最大平移單位．

試題解析：（Ⅰ）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：

，解得，

∴拋物線的解析式：y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，頂點(diǎn)D（1，9）；

（Ⅱ）如圖1，

∵拋物線的解析式：y=﹣x2+2x+8，

∴C（0，8），

∵B（4，0），

∴直線BC解析式為y=﹣2x+8，

∴直線和拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)H（1，6），

∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=×3×1+×3×3=6．

（Ⅲ）如圖2，

∵C（0，8），D（1，9）；

代入直線解析式y(tǒng)=kx+b，

∴，

解得：，

∴y=x+8，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣8，0），

∵B（4，0），

∴x=4時(shí)，y=4+8=12

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，12），

設(shè)拋物線向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（m＞0），

則拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣1）2+9+m；

當(dāng)x=﹣8時(shí)，y=m﹣72，

當(dāng)x=4時(shí)，y=m，

∴m﹣72≤0 或 m≤12，

∴0＜m≤72，

∴拋物線最多向上平移72個(gè)單位．