Question

（2013•上海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax²+bx（a＞0），經(jīng)過點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）連接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，以及B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中解析式求出M點(diǎn)坐標(biāo)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出∠FOM=30°，進(jìn)而得出答案；
（3）分別根據(jù)當(dāng)△ABC₁∽△AOM以及當(dāng)△C₂BA∽△AOM時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOE=30°，
∴OE=

3

，AE=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，

3

），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），
將兩點(diǎn)代入y=ax²+bx得：

a-b= 3 4a+2b=0

，
解得：

a= 3 3 b=- 2 3 3

，
∴拋物線的表達(dá)式為：y=

3

3

x²-

2 3

3

x；


（2）過點(diǎn)M作MF⊥OB于點(diǎn)F，
∵y=

3

3

x²-

2 3

3

x=

3

3

（x²-2x）=

3

3

（x²-2x+1-1）=

3

3

（x-1）²-

3

3

，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，-

3

3

），
∴tan∠FOM=

3 3

1

=

3

3

，
∴∠FOM=30°，
∴∠AOM=30°+120°=150°；

（3）當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上時(shí)，則∠BAC=150°，而∠ABC=30°，此時(shí)∠C=0°，故此種情況不存在；
當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸上時(shí)，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠ABO=∠OAB=30°，
∴AB=2EO=2

3

，
當(dāng)△ABC₁∽△AOM，
∴

AO

AB

=

MO

BC1

，
∵M(jìn)O=

FO2+FM2

=

2 3

3

，
∴

2

2 3

=

2 3 3

BC1

，
解得：BC₁=2，∴OC₁=4，
∴C₁的坐標(biāo)為：（4，0）；
當(dāng)△C₂BA∽△AOM，
∴

BC2

AO

=

AB

MO

，
∴

BC2

2

=

2 3

2 3 3

，
解得：BC₂=6，∴OC₂=8，
∴C₂的坐標(biāo)為：（8，0）．
綜上所述，△ABC與△AOM相似時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4，0）或（8，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．