Question

如圖所示，半徑為的⊙O內有互相垂直的兩條弦AB、CD相交于P點。
（1）求證：PA·PB= PC·PD；
（2）設BC的中點為F，連結FP并延長交AD于E，求證：EF⊥AD；
（3）若AB=8，CD=6，求OP的長。

Answer 1

解：（1）∵∠A、∠C所對的圓弧相同，
∴∠A=∠C，
∴Rt △APD∽△CPB，
∴
∴PA · PB = PC ·PD；
（2）∵F為BC的中點，△BPC為直角三角形，
∴FP=FC
∴∠C=∠CPF，
又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，
∴∠A=∠DPE，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠DPE+∠D=90°
∴EF⊥AD；
（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，用垂徑定理：
∴
又易證四邊形，MONP是矩形，
∴。