Question

如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=7cm，點P從點A出發(fā)沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發(fā)沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動．
（1）如果P、Q同時出發(fā)，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為4cm²？
（2）點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半？若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：一元二次方程的應用,三角形的面積,勾股定理

專題：幾何動點問題

分析：（1）設P、Q同時出發(fā)，x秒鐘后，AP=xcm，PC=（5-x）cm，CQ=2xcm，此時△PCQ的面積為：

1

2

×2x（5-x），令該式=4，由此等量關系列出方程求出符合題意的值；
（2）求出△ABC的面積進而利用b²-4ac的符號得出即可．

解答：解：（1）設xs后，可使△PCQ的面積為4cm²．
由題意得，AP=xcm，PC=（5-x）cm，CQ=2xcm，
則

1

2

（5-x）•2x=4，
整理，得x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4（舍去）．
所以P、Q同時出發(fā)，1s后可使△PCQ的面積為4cm²；

（2）∵S_△ABC=

1

2

×5×7=

35

2

，
∴當△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半，即S_△PCQ=

35

4

，
故

1

2

（5-x）•2x=

35

4

，
整理得：4x²-20x+35=0，
b²-4ac=400-4×4×35=-160＜0，
故此方程無解，則△PCQ的面積不可能等于△ABC的面積的一半．

點評：本題主要考查一元二次方程的應用，關鍵在于根據(jù)三角形面積公式找出等量關系列出方程求解．