Question

1．（1）如圖①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線且交于點D，請猜想∠A與∠D之間的數(shù)量關系，并說明理由；
（2）如圖②，BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線且相交于點D，請猜想∠A與∠D之間的數(shù)量關系，不用說明理由；
（3）如圖③，BD為∠ABC的角平分線，CD為∠ACB的外角的角平分線，它們相交于點D，請猜想∠A與∠D之間的數(shù)量關系，并說明理由

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和計算即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和計算即可；
（3）根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠EBC+∠FCB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）∵BD為∠ABC的角平分線，CD為∠ACB的外角的角平分線，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∠D=∠2-∠1=$\frac{1}{2}$（∠ACE-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A．

點評 本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關鍵．