Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）當(dāng)DF：DE=2：1時(shí)，∠BAC的度數(shù)為多少？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，OD，由AB為圓O的直徑，得到AD垂直于BC，由AB=AC，利用三線合一得到AD為角平分線，得到一對(duì)角相等，再由OA=OD，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OD與AC平行，由EF垂直于AC，得到EF垂直于OD，即可確定出EF為圓O的切線；
（2）由OD與AC平行，利用平行線分線段成比例得到DF：DE=OF：AO，由DF：DE=2：1得到OF=2AO，而OF=OB+BF，OA=OB，得到B為OF的中點(diǎn)，在直角三角形ODF中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到BD=OB=OD，即三角形OBD為等邊三角形，可得出∠DOB=60°，再利用兩直線平行同位角相等即可得到∠BAC=60°．
解答：解：（1）證明：連接OD，AD，
∵AB為圓O的直徑，
∴AD⊥BC，又AB=AC，
∴AD為∠CAB的平分線，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，又EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
則EF為圓O的切線；

（2）∵OD∥AE，DF：DE=2：1，
∴DF：DE=FO：AO=2：1，即FO=2AO，
∵FO=OB+BF，
∴OB=BF，
在Rt△ODF中，B為斜邊的中點(diǎn)，
∴BD=OB=BF=OF，
∴OD=OB=BD，即△OBD為等邊三角形，
∴∠DOB=60°，
∵OD∥AC，
∴∠BAC=∠DOB=60°．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．