【題目】(原題)已知直線AB∥CD,點(diǎn)P為平行線AB,CD之間的一點(diǎn).如圖1,若∠ABP=50°,∠CDP=60°,BE平分∠ABP,DE平分∠CDP,求∠BED的度數(shù).
(探究)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的上方時(shí),若∠ABP=α,∠CDP=β,∠ABP和∠CDP的平分線交于點(diǎn)E1,∠ABE1與∠CDE1的角平分線交于點(diǎn)E2,∠ABE2與∠CDE2的角平分線交于點(diǎn)E3,…以此類(lèi)推,求∠En的度數(shù).
(變式)如圖3,∠ABP的角平分線的反向延長(zhǎng)線和∠CDP的補(bǔ)角的角平分線交于點(diǎn)E,試猜想∠P與∠E的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
【答案】【原題】55°;【探究】∠En的度數(shù)為(β﹣α);【變式】∠DEB=90°﹣∠P.理由見(jiàn)解析.
【解析】
過(guò)E作EF∥AB,依據(jù)平行線的性質(zhì),即可得到∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE,依據(jù)角平分線即可得出∠BED的度數(shù);【探究】依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì),求得∠E1=(β﹣α),∠E2=(β﹣α),∠E3=(β﹣α),以此類(lèi)推∠En的度數(shù)為(β﹣α);【變式】過(guò)E作EG∥AB,進(jìn)而得出∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì),即可得到∠DEB=90°﹣(∠CDP﹣∠ABP)=90°﹣(∠AHP﹣∠ABP)=90°﹣∠P.
如圖1,過(guò)E作EF∥AB,而AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠ABE=∠FEB,∠CDE=∠FED,
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE,
又∵∠ABP=50°,∠CDP=60°,BE平分∠ABP,DE平分∠CDP,
∴∠ABE=∠ABP=25°,∠CDE=∠CDP=30°,
∴∠BED=25°+30°=55°,
故答案為:55°;
【探究】
如圖2,∵∠ABP和∠CDP的平分線交于點(diǎn)E1,
∴∠ABE1=∠ABP=α,∠CDE1=∠CDP=,
∵AB∥CD,
∴∠CDF=∠AFE1=,
∴∠E1=∠AFE1﹣∠ABE1=﹣α=(β﹣α),
∵∠ABE1與∠CDE1的角平分線交于點(diǎn)E2,
∴∠ABE2=∠ABE1=α,∠CDE2=∠CDE1=,
∵AB∥CD,
∴∠CDG=∠AGE2=,
∴∠E2=∠AGE2﹣∠ABE2=(β﹣α),
同理可得,∠E3=(β﹣α),
以此類(lèi)推,∠En的度數(shù)為(β﹣α).
【變式】
∠DEB=90°﹣∠P.理由如下:
如圖3,過(guò)E作EG∥AB,而AB∥CD,
∴AB∥CD∥EG,
∴∠MBE=∠BEG,∠FDE=∠GED,
∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE,
又∵∠ABP的角平分線的反向延長(zhǎng)線和∠CDP的補(bǔ)角的角平分線交于點(diǎn)E,
∴∠FDE=∠PDF=(180°﹣∠CDP),∠ABQ=∠ABP,
∴∠DEB=∠ABP+(180°﹣∠CDP)=90°﹣(∠CDP﹣∠ABP),
∵AB∥CD,
∴∠CDP=∠AHP,
∴∠DEB=90°﹣(∠CDP﹣∠ABP)=90°﹣(∠AHP﹣∠ABP)=90°﹣∠P.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】樂(lè)樂(lè)是一名健步運(yùn)動(dòng)的愛(ài)好者,她用手機(jī)軟件記錄了某個(gè)月(30天)每天健步走的步數(shù)(單位:萬(wàn)步),并將記錄結(jié)果繪制成了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖(不完整).
(1)若樂(lè)樂(lè)這個(gè)月平均每天健步走的步數(shù)為1.32萬(wàn)步,試求她走1.3萬(wàn)步和1.5萬(wàn)步的天數(shù);
(2)求這組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)和中位數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC,使∠BOC=70°,將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處.(注:∠DOE=90°)
(1)如圖①,若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上,則∠COE= °;
(2)如圖②,將直角三角板DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置,若OC恰好平分∠BOE,求∠COD的度數(shù);
(3)如圖③,將直角三角板DOE繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng),如果OD始終在∠BOC的內(nèi)部,試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲乙兩車(chē)間共120人,其中甲車(chē)間人數(shù)比乙車(chē)間人數(shù)的4倍少5人.
(1)求甲、乙兩車(chē)間各有多少人?
(2)若從甲、乙兩車(chē)間分別抽調(diào)工人,組成丙車(chē)間研制新產(chǎn)品,并使甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間的人數(shù)比為13∶4∶7,那么甲、乙兩車(chē)間要分別抽調(diào)多少工人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某電器超市銷(xiāo)售每臺(tái)進(jìn)價(jià)為120元、170元的A,B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇,如表所示是近2周的銷(xiāo)售情況:(進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變,利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入一進(jìn)貨成本)
銷(xiāo)售時(shí)段 | 銷(xiāo)售數(shù)量 | 銷(xiāo)售收入 | |
A種型號(hào) | B種型號(hào) | ||
第一周 | 6 | 5 | 2200元 |
第二周 | 4 | 10 | 3200元 |
(1)求A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷(xiāo)售單價(jià);
(2)若超市再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共130臺(tái),并且全部銷(xiāo)售完,該超市能否實(shí)現(xiàn)這兩批的總利潤(rùn)為8010元的目標(biāo)?若能,請(qǐng)給出相應(yīng)的采購(gòu)方案;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某星期天下午,小強(qiáng)和同學(xué)小穎相約在某公共汽車(chē)站一起乘車(chē)回學(xué)校,小強(qiáng)從家出發(fā)先步行到車(chē)站,等小穎到了后兩人一起乘公共汽車(chē)回學(xué)校,圖中折線表示小強(qiáng)離開(kāi)家的路程y(公里)和所用時(shí)間x(分)之間的函數(shù)關(guān)系,下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( 。
A. 小強(qiáng)乘公共汽車(chē)用了20分鐘 B. 小強(qiáng)在公共汽車(chē)站等小穎用了10分鐘
C. 公共汽車(chē)的平均速度是30公里/小時(shí) D. 小強(qiáng)從家到公共汽車(chē)站步行了2公里
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)P到點(diǎn)A,B和D的距離分別為1,2,.△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′,連接PP′,并延長(zhǎng)AP與BC相交于點(diǎn)Q.
(1)求證:△APP′是等腰直角三角形;
(2)求∠BPQ的大。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在棋盤(pán)中建立如圖的直角坐標(biāo)系,三顆棋子A,O,B的位置如圖,它們分別是(-1,1),(0,0)和(1,0).
(1)如圖2,添加棋子C,使A,O,B,C四顆棋子成為一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形,請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出該圖形的對(duì)稱(chēng)軸;
(2)在其他格點(diǎn)位置添加一顆棋子P,使A,O,B,P四顆棋子成為一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形,請(qǐng)直接寫(xiě)出棋子P的位置的坐標(biāo).(寫(xiě)出2個(gè)即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=x2+bx的圖象如圖,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t為實(shí)數(shù))在﹣1<x<4的范圍內(nèi)有解,則t的取值范圍是( )
A.t≥﹣1
B.﹣1≤t<3
C.﹣1≤t<8
D.3<t<8
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