Question

如圖，半徑為2的⊙O與正方形ABCD相切于點(diǎn)P、Q，弦MN=2，且MN在正方形的對(duì)角線BD上，則正方形的邊長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：首先取BD的中點(diǎn)E，連接AE，OM，ON，OP，OQ，由BD是正方形ABCD的對(duì)角線，可得AE⊥BD，又由⊙O與正方形ABCD相切于點(diǎn)P、Q，證得四邊形APOQ是正方形，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可得AE過(guò)圓心O，則可求得OE與OA的長(zhǎng)，可得AE的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：解：取BD的中點(diǎn)E，連接AE，OM，ON，OP，OQ，
∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴AE⊥BD，
∵⊙O與正方形ABCD相切于點(diǎn)P、Q，
∴OP⊥AB，OQ⊥AD，
∵OP=OQ，
∴四邊形APOQ是正方形，
∴OA=

2

OQ=2

2

，
∴∠QAE=∠PAE，
∴AE過(guò)⊙O的圓心O，
∴OE⊥BD，
∵OM=ON=MN=2，
∴OE=

3

，
∴AE=OA+OE=2

2

+

3

，
∴AB=

AE

sin45°

=

2

AE=4+

6

．
故答案為：4+

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．