Question

如果16²+2¹¹+2ⁿ是完全平方數(shù)，則這樣的自然數(shù)n的值是（　　）

• A、不存在
• B、只有一個(gè)
• C、不只一個(gè)，但有有限個(gè)
• D、有無(wú)限多個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：完全平方式

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)16²+2¹¹+2ⁿ是完全平方數(shù)，設(shè)16²+2¹¹+2ⁿ=（2⁴）²+2¹¹+2ⁿ=a²（a為整數(shù)），再根據(jù)完全平方公式變形即可求解．

解答：解：原式=16²+2¹¹+2ⁿ=（2⁴）²+2¹¹+2ⁿ=a²（a為整數(shù)），
∴48²+2ⁿ=a²
∴2ⁿ=a²-48²=（a+48）（a-48），
設(shè)a+48=2^m（1）
a-48=2^t（2）
∴m+t=n，
由（1）-（2）得：96=2^t（2^m-t-1）
∵2^t為偶數(shù)，2^m-t-1為奇數(shù)
而96=3×2⁵
∴2^m-t-1=3且2^t=2⁵
∴t=5，m=7
∴n=12
∴只有一個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方公式，難度較大，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行解題．