Question

已知：如圖，二次函數(shù)的頂點坐標為（0,2），矩形ABCD的頂點B、C在x軸上，矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的圖形內(nèi).

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）設(shè)點A的坐標為（x，y）（x>0,y>0)，試求矩形ABCD的周長P關(guān)于自變量x的函數(shù)表達式，并求出自變量x的取值范圍.

Answer 1

（1） （2）P=2()+，0<x<2

【解析】

試題分析：（1）直接把頂點坐標代入函數(shù)的解析式即可求得m的值，從而得到函數(shù)的解析式；

（2）由A點在函數(shù)的圖像上，可設(shè)坐標為（x，），根據(jù)矩形的周長公式可求P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，然后令y=0，則有=0，因此可求x=±2，得到二次函數(shù)與x軸的交點，從而判斷出x的取值范圍.

試題解析：【解析】
（1）∵

∴拋物線的頂點坐標為（0,4m）.

∴4m=2，即 .

∴二次函數(shù)的表達式為

∵點A在拋物線上，

∴.

∴矩形ABCD的周長P=2()+.

令y=0，則=0，

∴.

∴拋物線與x軸的兩個交點是（-2,0），（2,0）

∴關(guān)于x的函數(shù)P的自變量的取值范圍0<x<2.

考點：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，矩形的周長