Question

如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱(chēng)這個(gè)三角形為“好玩三角形”

（1）請(qǐng)用直尺與圓規(guī)畫(huà)一個(gè)“好玩三角形”；

（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求證：△ABC是“好玩三角形”；

（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a, ∠ABC=2β，點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿折線AB－BC和AD－DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路程為s

①當(dāng)β=45°時(shí)，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值；

②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”？請(qǐng)直接寫(xiě)出tanβ的取值范圍。

（4）本小題為選做題

依據(jù)（3）中的條件，提出一個(gè)關(guān)于“在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，tanβ的取值范圍與△APQ是“好玩三角形”的個(gè)數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個(gè)數(shù)限定不能為1）。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）見(jiàn)解析（3）①或②（4）見(jiàn)解析

【解析】解：（1）作圖如下，△ABC即為所求。

（2證明：取AC的中點(diǎn)D，連接BD，

∵∠C=90°，，∴。

設(shè)，由，。

∴。

∴AC=BD�！唷鰽BC是“好玩三角形”。

（3）①若β=45°，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”。

當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，連接AC，交PQ于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∵PC=QC，∠ACB=∠ACD，∴AC是PQ的垂直平分線。

∴AP=AQ。

∵∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，∴△AEF∽△CEP。

∴。

∵PE=CE，∴。

ⅰ）當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等，即AE=PQ時(shí)，，∴。

ⅱ）當(dāng)腰AP與它的中線QM相等，即AP=QM時(shí)，

作QN⊥AP于點(diǎn)N，∴MN=AN=PM。

∴QN=MN。

∴。

∴。

∴。

綜上所述，的值為或。

②。

（4）若，則在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使得△APQ是“好玩三角形”的個(gè)數(shù)為2。

（1）作邊AB，取AB中點(diǎn)D，以點(diǎn)D 為圓心，AB長(zhǎng)畫(huà)圓，圓上異于點(diǎn)A、B 的任一點(diǎn)C與點(diǎn)A、B連成的三角形就是“好玩三角形”。

（2）取AC的中點(diǎn)D，連接BD，應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義和勾股定理證明AC=BD即可。

（3）①先確定當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)才可能使△APQ是“好玩三角形”，從而分底邊PQ與它的中線AE相等和腰AP與它的中線QM相等兩種情況求解。

②由①知兩上臨界點(diǎn)和2，即可得出結(jié)論。

（4）在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，tanβ的取值范圍與△APQ是“好玩三角形”的個(gè)數(shù)關(guān)系如下：

tanβ的取值范圍	“好玩三角形”的個(gè)數(shù)
	2
	1
	0
	無(wú)數(shù)個(gè)