Question

【題目】如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)B作直線EF∥AC，又知∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝cm．

（1）請(qǐng)?zhí)骄?/span>EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求⊙O的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）EF與⊙O相切．理由見解析；（2）⊙O的周長(zhǎng)為2πcm．

【解析】

（1）延長(zhǎng)BO交AC于H，如圖，先證明△ABC為等邊三角形，利用點(diǎn)O為△ABC的外心得到BH⊥AC，由于AC∥EF，所以BH⊥EF，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到EF為⊙O的切線；

（2）連結(jié)OA，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠OAH＝30°，AH＝CH＝AC＝，再在Rt△AOH中，利用三角函數(shù)和計(jì)算出OA＝1，然后根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算．

（1）EF與⊙O相切．理由如下：

延長(zhǎng)BO交AC于H，如圖，

∵∠BAC＝∠BDC＝60°，

而∠ACB＝60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∵點(diǎn)O為△ABC的外心，

∴BH⊥AC，

∵AC∥EF，

∴BH⊥EF，

∴EF為⊙O的切線；

（2）連結(jié)OA，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴OA平分∠ABC，

∴∠OAH＝30°，

∵OH⊥AC，

∴AH＝CH＝AC＝，

在Rt△AOH中，∵cos∠OAH＝，

∴OA＝＝1，

∴⊙O的周長(zhǎng)＝2π×1＝2π（cm）．