Question

【題目】如圖，以的直角邊為直徑的交斜邊于點，過點作的切線與交于點，弦與垂直，垂足為．

求證：為的中點；

（2）若的面積為，兩個三角形和的外接圓面積之比為，求的內切圓面積和四邊形的外接圓面積的比．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）

【解析】

（1）證明∠EDB=∠EBD，則∠BDC=90°，E為直角三角形BDC的中線，即可求解；
（2）△AHD和△BMH的外接圓面積之比為3，確定AD：BM=，即HM：BH=，得∠BMH=30°=∠BAC，即可求解．

解：連接，

是直徑，則，

是切線，

，

，

，即是圓的切線，

，

，則，

為的中點；

和的外接圓面積之比為，

則兩個三角形的外接圓的直徑分別為，

，

而，

，

則，

，

，

是直角三角形的中線，

，

為等邊三角形，

的面積：，

則，

，而，

四邊形的外接圓面積，

等邊三角形邊長為，則其內切圓的半徑為：，面積為，

故的內切圓面積和四邊形的外接圓面積的比為：．