Question

【題目】一個三位自然數（百位上的數字為，十位上的數字為，個位上的數字為）. 若滿足，則稱這個三位數為“和悅數”，并規(guī)定. 如231，因為它的百位上的數字2與個位上的數字1之和等于十位上的數字3. 所以231是“和悅數”，所以.

（1）請任意寫出兩個“和悅數”，并猜想任意一個“和悅數”是否是11的倍數，請說明理由；

（2）已知有兩個十位上的數字相同的“和悅數”，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）例如：253，374都是和悅數，任意一個“和悅數”是11的倍數，理由見詳解； （2）99或495

【解析】

(1)根據“和悅數”的定義，用代數式表示和悅數，即可得到結論；

(2)設m=，n=，由，得，從而得或，即==，進而得到答案.

（1）例如：253，374都是和悅數，任意一個“和悅數”是11的倍數，理由如下：

設是和悅數，則，

∴=100a+10b+c=100a+10(a+c)+c=110a+11c=11(10a+c)，

∴任意一個“和悅數”是11的倍數；

（2）設m=，n=，

∵，

∴

=

=，

∵ 都是整數，，

∴或，

∵=

=，

∵，

∴=

=，

∴=99或495.