Question

對(duì)于點(diǎn)M（m，n），若有點(diǎn)N（m+

n

k

，km+n），則稱N為點(diǎn)M的“k倍伴侶點(diǎn)”．例如，M（1，2）的“1倍伴侶點(diǎn)”的坐標(biāo)為（1+

2

1

，1×1+2），即（3，3）．
（1）點(diǎn)M（3，-2）的“2倍伴侶點(diǎn)“的坐標(biāo)為（

 

，

 

）；
（2）若點(diǎn)M是y軸上的點(diǎn)，N為點(diǎn)M的”k倍伴侶點(diǎn)“，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△MNO為等腰直角三角形，則k=

 

；
（3）如果N為點(diǎn)M的”k倍伴侶點(diǎn)“，且點(diǎn)N在反比例函數(shù)y=

k

x

圖象上運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)M在什么函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，寫出必要的過程．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：新定義

分析：（1）只需把m=3，n=-2，k=2代入（m+

n

k

，km+n），即可解決問題；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，n），由條件可得M（0，n），N（

n

k

，n），從而得到MN⊥y軸（即∠OMN=90°），由“△MNO為等腰直角三角形”可得OM=MN，從而得到|n|=|

n

k

|，就可求出k的值；
（3）設(shè)點(diǎn)M（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m+

n

k

，km+n），由“點(diǎn)N在反比例函數(shù)y=

k

x

圖象上”可得（m+

n

k

）（km+n）=k，從而得到n=-km+k或n=-km-k，即可得到點(diǎn)M在一次函數(shù)y=-kx+k或y=-kx-k上運(yùn)動(dòng)．

解答：解：（1）點(diǎn)M（3，-2）的“2倍伴侶點(diǎn)“的坐標(biāo)為（3+

-2

2

，2×3-2），
即（2，4）．
故答案為：2、4．

（2）設(shè)點(diǎn)M（m，n），
∵點(diǎn)M是y軸上的點(diǎn)，∴m=0，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，n）．
∵N為點(diǎn)M的“k倍伴侶點(diǎn)”，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

n

k

，n），
∴MN⊥y軸，即∠OMN=90°．
∵△MNO為等腰直角三角形，
∴OM=MN，
∴|n|=|

n

k

|，
∴k=±1．
故答案為：±1．

（3）設(shè)點(diǎn)M（m，n），
∵N為點(diǎn)M的“k倍伴侶點(diǎn)”，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m+

n

k

，km+n）．
∵點(diǎn)N在反比例函數(shù)y=

k

x

圖象上運(yùn)動(dòng)，
∴（m+

n

k

）（km+n）=k，
即（km+n）²=k²，
∴km+n=k或km+n=-k，
即n=-km+k或n=-km-k，
∴點(diǎn)M在一次函數(shù)y=-kx+k或y=-kx-k上運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于新定義型，考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解決本題的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解．