Question

如圖，拋物線c₁：y=ax²-2ax-c與x軸交于A、B，且AB=6，與y軸交于C（0，-4 ）．
（1）求拋物線c₁的解析式；
（2）問拋物線c₁上是否存在P、Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方）兩點(diǎn)，使得以A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，若存在，求P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）拋物線c₂與拋物線c₁關(guān)于x軸對(duì)稱，直線x=m分別交c₁、c₂于D、E兩點(diǎn)，直線x=n分別交c₁、c₂于M、N兩點(diǎn)，若四邊形DMNE為平行四邊形，試判斷m和n間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把C（0，-4）代入拋物線的解析式求出c=4，得到y(tǒng)=ax²-2ax-4，根據(jù)AB=6，利用求根公式即可求出a的值，代入即可；
（2）有兩種情況：①當(dāng)∠PAC=∠ACQ=90°時(shí)，連接AQ，設(shè)Q（x，

1

2

x²-x-4），由勾股定理得出AQ²=AC²+CQ²，代入求出x的值，求出

1

2

x²-x-4=-

5

2

，得到Q的坐標(biāo)，同法可求P的坐標(biāo)；②當(dāng)∠ACQ=∠PQC=90°時(shí)，與①解法類似可求出Q的坐標(biāo)和P的坐標(biāo)，即可得出答案；
（3）m和n間的數(shù)量關(guān)系是m+n=0，且m≠0，n≠0．根據(jù)拋物線c₂與拋物線c₁關(guān)于x軸對(duì)稱，得出兩拋物線的形狀相同，開口方向相反，且都關(guān)于x軸對(duì)稱，根據(jù)平行四邊形的形狀得到DE∥MN，ED=MN，DE與 MN關(guān)于直線x=1對(duì)稱，即可得到答案．

解答：（1）解：把C（0．-4）代入拋物線的解析式得：c=4，
∴y=ax²-2ax-4，
∵AB=6，
∴|

2a+ (-2a)2-4a•(-4)

2a

-

2a- (-2a)2-4a•(-4)

2a

|=6，
解得：a=0（舍去），a=

1

2

，
∴y=

1

2

x2-x-4，
答：拋物線c₁的解析式是y=

1

2

x²-x-4．

（2）解：∵當(dāng)y=

1

2

x²-x-4=0，x=4或-2，
∴OA=2，OB=4，
有兩種情況：①當(dāng)∠PAC=∠ACQ=90°時(shí)如圖（1），連接AQ，設(shè)Q（x，

1

2

x²-x-4），
由勾股定理得：AQ²=AC²+CQ²，
代入得：（x+2）²+(

1

2

x2-x-4) 2=2²+4²+x²+(

1

2

x2-x-4+4) 2，
解得：x=0（舍去），x=3，
當(dāng)x=3 時(shí)，

1

2

x²-x-4=-

5

2

，
∴Q（3，

5

2

），
同法可求P的坐標(biāo)是（5，

7

2

）；
②當(dāng)∠ACQ=∠PQC=90°時(shí)如圖（2），與①解法類似可求出Q的坐標(biāo)是（3，-

5

2

），P的坐標(biāo)是（-5，

27

2

）；
答：存在，P、Q的坐標(biāo)分別為（5，

7

2

），（3，-

5

2

）或（-5，

27

2

），（3，-

5

2

）．

（3）答：m和n間的數(shù)量關(guān)系是m+n=0，且m≠0，n≠0．
理由是：∵拋物線c₂與拋物線c₁關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴兩拋物線的形狀相同，開口方向相反，且都關(guān)于x軸對(duì)稱，
∵直線x=m分別交c₁、c₂于D、E兩點(diǎn)，直線x=n分別交c₁、c₂于M、N兩點(diǎn)，四邊形DMNE為平行四邊形，
∴直線m n垂直于x軸（m∥n），DE=MN，DE與 MN關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴m+n=2，m≠0，n≠0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變換-對(duì)稱，勾股定理，解一元二次方程-公式法，直角梯形等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度適中．