Question

如圖（1）所示，一次函數(shù)的圖象過點A（4，0），B（0，4），M是線段AB的中點，
（1）求該一次函數(shù)的關系式；
（2）點D是直線AB上的一點，過點D分別作DE⊥y軸，DF⊥x軸，垂足分別為E、F，連接ME、MF、EF，試判斷△MEF的形狀，并證明你的結(jié)論．
（3）如果在（2）中，點D在線段AB上運動，其它條件不變，試求△MEF面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先設出一次函數(shù)的關系式為y=kx+b（k≠0），再把A（4，0），B（0，4）代入，即可求出k、b的值，從而得出一次函數(shù)的表達式．
（2）本題需先判斷出△MEF為等腰直角三角形，再根據(jù)已知條件，分兩種情況進行討論，當D在線段AB上時和D在線段AB的延長線上時，分別進行證明，從而得出答案．
（3）本題需先設出D點的坐標，從而得出則EF的值，再根據(jù)△MEF為等腰直角三角形，即可求出三角形MEF的值，從而得出S_△MEF的最小值．
解答：解：（1）設該一次函數(shù)的關系式為y=kx+b（k≠0）．
將（0，4）、（4，0）代入可得
k=-1，b=4．
所以該一次函數(shù)的表達式為y=-x+4；

（2）判斷：△MEF為等腰直角三角形．
證明：如圖，①當D在線段AB上時
連接OM∵△AOB為直角三角形，M為AB中點，
∴OM=AM．
又∵OA=OB，
∴∠EOM=∠FAM=45°．
可證四邊形OFDE為矩形，
∴DF=OE．
∵DF=AF，
∴OE=AF．
∴△MEO≌△MFA（SAS）．
∴ME=MF，∠EMO=∠FMA．
∴∠EMF=90°．
②當D在線段AB的延長線上時，
可證△MED≌△MOF（SAS）．
可得△MEF為等腰直角三角形；

（3）解：設D點的坐標為（x，-x+4），
則．
∵△MEF為等腰直角三角形，
∴
=
=
∴S_△MEF的最小值為2．
點評：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合，在解題時要注意知識的綜合應用以及一次函數(shù)的關系式的求法是解本題的關鍵．