Question

【題目】閱讀下列材料解決問題：

材料：古希臘著名數(shù)學(xué)家 畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)把數(shù)1，3，6，10，15，21…這些數(shù)量的（石子），都可以排成三角形，則稱像這樣的數(shù)為三角形數(shù)．

把數(shù) 1，3，6，10，15，21…換一種方式排列，即

1=1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

…

從上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，…叫做三角形數(shù)“名副其實”．

（1）設(shè)第一個三角形數(shù)為a1=1，第二個三角形數(shù)為a2=3，第三個三角形數(shù)為a3=6，請直接寫出第n個三角形數(shù)為an的表達式（其中n為正整數(shù)）．

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論判斷66是三角形數(shù)嗎？若是請說出66是第幾個三角形數(shù)？若不是請說明理由．

（3）根據(jù)（1）的結(jié)論判斷所有三角形數(shù)的倒數(shù)之和T與2的大小關(guān)系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）an=（n為正整數(shù)）；（2）是，是第11個三角形數(shù)；（3）T＜2．理由參見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；（2）66是三角形數(shù)，理由為：根據(jù)得出的規(guī)律確定出原因即可；（3）表示出T后，利用拆項法整理判斷即可．

試題解析：（1）根據(jù)題意得：an=（n為正整數(shù)）；（2）66是三角形數(shù)，理由如下：當(dāng)=66時，解得：n=11或n=﹣12（舍去），則66是第11個三角形數(shù)；（2）T=++++…+=++++…+=2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=，∵n為正整數(shù)，∴0<＜1，則T＜2．