Question

12．探究：如圖，已知直線l₁∥l₂，直線l₃和直線l₁、l₂交于點C和點D，直線l₃有一點P
（1）若點P在C、D之間運動時，問∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系是否發(fā)生，并說明理由．
（2）若點P在C、D兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系又是如何？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）當P點在C、D之間運動時，首先過點P作PE∥l₁，由l₁∥l₂，可得PE∥l₂∥l₁，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）當點P在C、D兩點的外側運動時，由直線l₁∥l₂，根據(jù)兩直線平行，同位角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．

解答 解：（1）如圖①，當P點在C、D之間運動時，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：
過點P作PE∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂∥l₁，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）如圖2，當點P在C、D兩點的外側運動，且在l₂下方時，∠PAC=∠PBD+∠APB．
理由如下：
∵l₁∥l₂，
∴∠PED=∠PAC，
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．
如圖3，當點P在C、D兩點的外側運動，且在l₁上方時，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：
∵l₁∥l₂，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

點評 本題主要考查平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關鍵是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯角相等與兩直線平行，同位角相等，注意輔助線的作法．