Question

【題目】如圖，矩形AEHC是由三個全等矩形拼成的，AH與BE、BF、DF、DG、CG分別交于點P、Q、K、M、N，設△BPQ、△DKM、△CNH的面積依次為、、．

（1）求證：△BPQ∽△DKM∽△CNH；

（2）若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）16

【解析】

（1）利用矩形的性質，平行四邊形的判定與性質，和相似三角形的判定定理進行推理即可；

（2）由條件可以得出△ABP∽△ADK∽△ACN，可以求出△ABP與△ADK的相似比為 ，△ADK與△ACN相似比為，由相似三角形的性質，就可以求出K，從而可以求出S2．

（1）證明：∵矩形AEFB、BFGD、DGHC互相全等，

∴BD=DC=EF=FG，且BD∥EF，DC∥FG，

∴四邊形BEFD，DFGC為平行四邊形，

∴BE∥DF∥CG，

∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，

∵BF∥DG∥CH，

∴∠BQP=∠DMK=∠CHN，

∴△BQP∽△DMK∽△CHN．

（2）∵BP∥DK∥CN，

∴△ABP∽△ADK∽△ACN，

∴，，

由（1）知：△BQP∽△DMK∽△CHN，

∴，，

∴，

設，則，，

∵，∴，

∴，

∴．