Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C（0，12）兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x=4．設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O 運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交PB于點(diǎn)N．將△PMN沿直線MN對(duì)折，得到△P1MN．在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c

由題意得 ，

解得 ，

∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣8x+12，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，﹣4）

（2）

解：方法一：

存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形．理由如下：

當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣8x+12=0，

∴x1=2，x2=6，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），

設(shè)直線BP的解析式為y=kx+m

則 ，

解得

∴直線BP的解析式為y=2x﹣12

∴直線OD∥BP，

∵頂點(diǎn)坐標(biāo)P（4，﹣4），

∴OP=4

設(shè)D（x，2x）則BD2=（2x）2+（6﹣x）2

當(dāng)BD=OP時(shí)，（2x）2+（6﹣x）2=32，

解得：x1= ，x2=2，

當(dāng)x2=2時(shí)，OD=BP= ，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去，

∴當(dāng)x= 時(shí)四邊形OPBD為等腰梯形，

∴當(dāng)D（ ， ）時(shí)，四邊形OPBD為等腰梯形

方法二：

設(shè)D（t，2t），O（0，0），P（4，﹣4），B（6，0），

∴KBP= =2，KOD= =2，

∴KBP=KOD，

∴BP∥OD，

∵四邊形OPBD為等腰梯形，∴DB=OP，

（t﹣6）2+（2t﹣0）2=（4﹣0）2+（﹣4﹣0）2，

∴t1=2（舍），t2= ，∴D（ ， ）

（3）

解：方法一：

①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，

∵運(yùn)動(dòng)速度為每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則MP= t，

∴PH=t，MH=t，HN= （4﹣t），

∴MN=MH+HN=2+ t，

∴S= t2；

②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，P1G=2t﹣4，P1H=t，

∵M(jìn)N∥OB

∴△P1EF∽△P1MN，

∴ ，

∴ ，

∴ =3t2﹣12t+12，

∴S= t2﹣（3t2﹣12t+12）=﹣ t2+12t﹣12，

∴當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S= t2，

當(dāng)2＜t＜4時(shí)，S=﹣ t2+12t﹣12

方法二：

O（0，0），P（4，﹣4），

∴l(xiāng)OP：y=﹣x，

∴M（4﹣t，t﹣4），

∵B（6，0），∴l(xiāng)BP：y=2x﹣12，

∴N（ ，t﹣4），

①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S= = = ，

②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，

∵△PMN與△P′MN關(guān)于MN對(duì)稱，

∴KMP′+KMP=0，KNP′+KNP=0，

∴l(xiāng)MP′：y=x+2t﹣8，lNP′：y=﹣2x+2t+4，

∴D（8﹣2t，0），C（t+2，0），

∴S= （CD+MN）|MY|= =﹣ ．

【解析】（1）利用對(duì)稱軸公式，A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組求a、b、c的值即可；（2）存在．由（1）可求直線PB解析式為y=2x﹣12，可知PB∥OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四邊形的情形；（3）由P（4，﹣4）可知直線OP解析式為y=﹣x，當(dāng)P1落在x軸上時(shí)，M、N的縱坐標(biāo)為﹣2，此時(shí)t=2，按照0＜t≤2，2＜t＜4兩種情形，分別表示重合部分面積．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．