Question

如圖，帆船A和帆船B在太湖湖面上訓(xùn)練，O為湖面上的一個(gè)定點(diǎn)，教練船靜候于點(diǎn)O，訓(xùn)練時(shí)要求A、B兩船始終關(guān)于O點(diǎn)對稱．以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，x軸、y軸的正方向分別表示正東、正北方向．設(shè)A、B兩船可近似看成在雙曲線y=

4

x

上運(yùn)動(dòng)，湖面風(fēng)平浪靜，雙帆遠(yuǎn)影優(yōu)美，訓(xùn)練中檔教練船與A、B兩船恰好在直線y=x上時(shí)，三船同時(shí)發(fā)現(xiàn)湖面上有一遇險(xiǎn)的C船，此時(shí)教練船測得C船在東南45°方向上，A船測得AC與AB的夾角為60°，B船也同時(shí)測得C船的位置（假設(shè)C船位置不再改變，A、B、C三船可分別用A、B、C三點(diǎn)表示）．
（1）發(fā)現(xiàn)C船時(shí)，A、B、C三船所在位置的坐標(biāo)分別為A（

 

，

 

）、B（

 

，

 

）和C（

 

，

 

）；
（2）發(fā)現(xiàn)C船，三船立即停止訓(xùn)練，并分別從A、O、B三點(diǎn)出發(fā)沿最短路線同時(shí)前往救援，設(shè)A、B兩船的速度相等，教練船與A船的速度之比為3：4，問教練船是否最先趕到？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）A、B兩點(diǎn)直線y=x上和雙曲線y=

4

x

，列方程組可求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，在依題意判斷△ABC為等邊三角形，OA=2

2

，則OC=

3

OA=2

6

，過C點(diǎn)作x軸的垂線CE，垂足為E，利用OC在第四象限的角平分線上求OE，CE，確定C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分別求出AC、OC的長，分別表示教練船與A、B兩船的速度與時(shí)間，比較時(shí)間的大小即可．

解答：解：（1）CE⊥x軸于E，解方程組

y=x y= 4 x

得

x1=2 y1=2

，

x2=-2 y2=-2

∴A（2，2），B（-2，-2），
在等邊△ABC中可求OA=2

2

，
則OC=

3

OA=2

6

，
在Rt△OCE中，OE=CE=OC•sin45°=2

3

，
∴C（2

3

，-2

3

）；

（2）作AD⊥x軸于D，連AC、BC和OC，
∵A（2，2），
∴∠AOD=45°，AO=2

2

，
∵C在O的東南45°方向上，
∴∠AOC=45°+45°=90°，
∵AO=BO，∴AC=BC，
又∵∠BAC=60°，
∴△ABC為正三角形，
∴AC=BC=AB=2AO=4

2

，
∴OC=

3

2

•4

2

=2

6

，
由條件設(shè)教練船的速度為3m，A、B兩船的速度都為4m，
則教練船所用時(shí)間為

2 6

3m

，A、B兩船所用時(shí)間均為

4 2

4m

=

2

m

，
∵

2 6

3m

=

24

3m

，

2

m

=

18

3m

，
∴

2 6

3m

＞

2

m

；
∴教練船沒有最先趕到．

點(diǎn)評：本題考查了直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的求法，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求兩點(diǎn)之間距離的方法．解答本題時(shí)同學(xué)們要讀懂題意，就不易出錯(cuò)．