如圖,拋物線(a≠0)經(jīng)過點A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y軸于點M.

(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)D為拋物線在第二象限部分上的一點,作DE垂直x軸于點E,交線段AM于點F,求線段DF長度的最大值,并求此時點D的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在一點P,作PN垂直x軸于點N,使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似?若存在,求點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(1)
(2)點D的坐標(biāo)為
(3)滿足條件的點P的坐標(biāo)為(﹣8,﹣15)、(2,)、(10,﹣39)。

分析:(1)把點A、B、C的坐標(biāo)分別代入已知拋物線的解析式列出關(guān)于系數(shù)的三元一次方程組,通過解該方程組即可求得系數(shù)的值。
(2)由(1)中的拋物線解析式易求點M的坐標(biāo)為(0,1).所以利用待定系數(shù)法即可求得直線AM的關(guān)系式為。由題意設(shè)點D的坐標(biāo)為,則點F的坐標(biāo)為,易求DF關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,根據(jù)二次函數(shù)最值原理來求線段DF的最大值。
(3)對點P的位置進(jìn)行分類討論:點P分別位于第一、二、三、四象限四種情況。利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答。
解:(1)把A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1)代入得,
.解得
∴拋物線的表達(dá)式為。
(2)將x=0代入拋物線表達(dá)式,得y=1.∴點M的坐標(biāo)為(0,1)。
設(shè)直線MA的表達(dá)式為y=kx+b,

,解得
∴直線MA的表達(dá)式為。
設(shè)點D的坐標(biāo)為,
則點F的坐標(biāo)為。
。
∴當(dāng)時,DF的最大值為。
此時,即點D的坐標(biāo)為。
(3)存在點P,使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似。
設(shè)P,
在Rt△MAO中,AO=3MO,要使兩個三角形相似,由題意可知,點P不可能在第一象限。
①設(shè)點P在第二象限時,∵點P不可能在直線MN上,∴只能PN=3NM。
,即
解得m=﹣3或m=﹣8。
∵此時﹣3<m<0,∴此時滿足條件的點不存在。
②當(dāng)點P在第三象限時,
∵點P不可能在直線MN上,∴只能PN=3NM。
,即,
解得m=﹣3(舍去)或m=﹣8。
當(dāng)m=﹣8時,,∴此時點P的坐標(biāo)為(﹣8,﹣15)。

③當(dāng)點P在第四象限時,
若AN=3PN時,則,
即m2+m﹣6=0。
解得m=﹣3(舍去)或m=2。
當(dāng)m=2時,
∴此時點P的坐標(biāo)為(2,)。
若PN=3NA,則,即m2﹣7m﹣30=0。
解得m=﹣3(舍去)或m=10。
當(dāng)m=10時,,∴此時點P的坐標(biāo)為(10,﹣39)。
綜上所述,滿足條件的點P的坐標(biāo)為(﹣8,﹣15)、(2,)、(10,﹣39)。
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