Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC的中點為D，BC的中點為E，F(xiàn)是DE的中點，動點G在邊AB上，連接GF，延長GF到點H，使HF=GF，連接HD，HE．

（1）求證：四邊形HDGE是平行四邊形．
（2）已知∠C=90°，∠A=30°，AB=4．
①當(dāng)AG為何值時，四邊形HDGE是矩形；
②當(dāng)AG為何值時，四邊形HDGE是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵HF=GF，DF=EF，

∴四邊形HDGE是平行四邊形

（2）

解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4，

∴AC=ABcom∠A=4× =2 ，BC=4× =2，∠B=60°，

∵AC的中點為D，BC的中點為E，F(xiàn)是DE的中點，

∴BE=1，DE= AB=2，AD=CD= ，DF=EF=1，DE∥AB，

∴∠CBD=∠B=60°，

① 當(dāng)AG=3或2時，四邊形HDGE是矩形，

當(dāng)AG=3時，如圖1，

BG=4﹣3=1，

∴BG=CE，

BG=BE=EG=1=CE，DE=DE，∠CED=∠DEG=60°，

在△DGE和△DCE中， ，

∴△DGE≌△DCE，

∴∠DGE=∠DCE=90°，

∴四邊形HDGE是矩形；

當(dāng)AG=2時，則AG=BG，

∴DG∥CE，EG∥AC，H，C重合，

∴∠DCE=90°，∴四邊形HDGE是矩形，如圖2；

②過F作MN⊥DE，交AC于M，AB與N，

∵DE∥AB，

∴MN⊥AB，∠MDF=∠A=30°，

∵F是DE的中點，

∴MN是線段DE的垂直平分線，

∴ND=NE，

∵DF=1，MB= ，

∵AD= ，

∴AM= ，

∴AN=AMcom∠A= = ，

當(dāng)AG=AN= 時，G在DE的中垂線上，DG=GE，四邊形HDGE是菱形．

【解析】（1）由平行四邊形的判定直接推出；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AB=4，求得AC=2 ，BC=4× =2，∠B=60°，根據(jù)三角形的中位線得到BE=1，DE=2，AD= ，DF=EF=1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBD=∠B=60°，①當(dāng)AG=3或2時，四邊形HDGE是矩形．當(dāng)AG=3時，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DGE=∠DCE=90°，于是得到四邊形HDGE是矩形；當(dāng)AG=2時，則AG=BG，推出∠DCE=90°，于是得到四邊形HDGE是矩形；②過F作MN⊥DE，交AC于M，AB與N，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠MDF=∠A=30°根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到ND=NE，求得AN=AMcom∠A= ，當(dāng)AG=AN= 時，G在DE的中垂線上，根據(jù)菱形的判定即可得到結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了兩點間的距離的相關(guān)知識點，需要掌握同軸兩點求距離，大減小數(shù)就為之．與軸等距兩個點，間距求法亦如此．平面任意兩個點，橫縱標(biāo)差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記才能正確解答此題．