Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4），與x軸交于點(diǎn)A，B，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．

（1）求該拋物線的解析式．
（2）若點(diǎn)P是AB上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，求△PCE面積的最大值．
（3）若點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上一點(diǎn)，且△OMD為等腰三角形，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)C（0，﹣4），B（2，0）分別代入y= x2+bx+c中，

得 ，

解得

∴該拋物線的解析式為y= x2+x﹣4

（2）

解：令y=0，即 x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，

∴A（﹣4，0），S△ABC= ABOC=12．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則PB=2﹣x．

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△PBE∽△BAC，

∴ ，即 ，

化簡得：S△PBE= （2﹣x）2．

S△PCE=S△PCB﹣S△PBE= PBOC﹣S△PBE= ×（2﹣x）×4﹣ （2﹣x）2

= x2﹣ x+

=﹣ （x+1）2+3

∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，S△PCE的最大值為3

（3）

解：△OMD為等腰三角形，可能有三種情形：

（I）當(dāng)DM=DO時(shí)，如答圖①所示．

DO=DM=DA=2，

∴∠OAC=∠AMD=45°，

∴∠ADM=90°，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；

（II）當(dāng)MD=MO時(shí)，如答圖②所示．

過點(diǎn)M作MN⊥OD于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為OD的中點(diǎn)，

∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，

又△AMN為等腰直角三角形，∴MN=AN=3，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）；

（III）當(dāng)OD=OM時(shí)，

∵△OAC為等腰直角三角形，

∴點(diǎn)O到AC的距離為 ×4= ，即AC上的點(diǎn)與點(diǎn)O之間的最小距離為 ．

∵ ＞2，∴OD=OM的情況不存在．

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出△PCE面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值；（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．