Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象交于點(diǎn)P（n，2），與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)C，PB⊥x軸于點(diǎn)B，且AC=BC．

（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式；
（2）反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），

∴O為AB的中點(diǎn)，即OA=OB=4，

∴P（4，2），B（4，0），

將A（﹣4，0）與P（4，2）代入y=kx+b得： ，

解得：k= ，b=1，

∴一次函數(shù)解析式為y= x+1，

將P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式為y=

（2）

解：假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形，如圖所示，連接DC與PB交于E，

∵四邊形BCPD為菱形，

∴CE=DE=4，

∴CD=8，

將x=8代入反比例函數(shù)y= 得y=1，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，1）

∴則反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，此時(shí)D坐標(biāo)為（8，1）

【解析】（1）由AC=BC，且OC⊥AB，利用三線(xiàn)合一得到O為AB中點(diǎn)，求出OB的長(zhǎng)，確定出B坐標(biāo)，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)，將P與A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，確定出一次函數(shù)解析式，將P坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，即可確定出反比例解析式；（2）假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形，根據(jù)菱形的特點(diǎn)得出D點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用菱形的判定方法的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握任意一個(gè)四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對(duì)角線(xiàn)，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對(duì)角線(xiàn)若垂直，順理成章為菱形．