Question

【題目】已知，如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，若∠ABC=30°，∠ACB=50°．

（1）求∠DAE的度數(shù)；

（2）寫出∠DAE與∠ACB﹣∠ABC的數(shù)量關系：　 　，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）∠DAE=10°；（2）∠DAE=（∠ACB﹣∠ABC），理由見解析.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=100°，再根據(jù)角平分線與高線的定義得到∠CAE=∠CAB=50°，∠ADC=90°，則∠CAD=90°﹣∠C=40°，然后利用∠DAE=∠CAE﹣∠CAD計算即可．

（2）根據(jù)題意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，從而可以得到∠DAE與∠C﹣∠B的關系．

試題解析：（1）∵∠ABC=30°，∠ACB=50°，

∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=100°，

∵AE是△ABC角平分線，

∴∠CAE=∠CAB=50°，

∵AD分別是△ABC的高，

∴∠ADC=90°，

∴∠CAD=90°﹣∠C=40°，

∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣40°=10°．

（2）∠DAE=（∠ACB﹣∠ABC），

理由：∵在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，

∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C，∠CAD=90°﹣∠C，∠CAE=（180°﹣∠B﹣∠C），

∴∠DAE=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=（∠C﹣∠B）．