【題目】已知正方形ABCD和正方形CGEF,且D點在CF邊上,M為AE中點,連接MD、MF,
(1)如圖1,請直接給出線段MD、MF的數(shù)量及位置關(guān)系是 ;
(2)如圖2,把正方形CGEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn),則(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請證明;若不成立,請給出你的結(jié)論并證明;
(3)若將正方形CGEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°時,CF邊恰好平分線段AE,請直接寫出的值.
【答案】(1)MD=MF,MD⊥MF;(2)MD=MF,MD⊥MF仍成立,理由詳見解析;(3).
【解析】
試題分析:(1)延長DM交EF于點P,易證AM=EM,即可證明△ADM≌△EPM,可得DM=PM,根據(jù)△DFP是直角三角形即可解題;
(2)延長DM交CE于點N,連接FN、DF,易證∠DAM=∠NEM,即可證明△ADM≌△ENM,可得EN=AD,DM=MN,可證CD=EN,即可證明△CDF≌△ENF,可得DF=NF,即可解題;
(3)根據(jù)(1)可得MD=MF,MD⊥MF,若CF邊恰好平分線段AE,則CF過點M,最后根據(jù)Rt△CDM中,∠DCF=30°,即可求得的值.
試題解析:(1)線段MD、MF的數(shù)量及位置關(guān)系是MD=MF,MD⊥MF,
理由:如圖1,延長DM交EF于點P,
∵四邊形ABCD和四邊形FCGE是正方形,
∴AD∥EF,∠MAD=∠MEP,∠CFE=90°.
∴△DFP是直角三角形.
∵M為AE的中點,
∴AM=EM.
在△ADM和△EPM中,
∠MAD=∠MEP,AM=EM,∠AMD=∠EMP,
∴△ADM≌△EPM(ASA),
∴DM=PM,AD=PE,
∴M是DP的中點.
∴MF=DP=MD,
∵AD=CD,
∴CD=PE,
∵FC=FE,
∴FD=FP,
∴△DFP是等腰直角三角形,
∴FM⊥DP,即FM⊥DM.
故答案為:MD=MF,MD⊥MF;
(2)MD=MF,MD⊥MF仍成立.
證明:如圖2,延長DM交CE于點N,連接FN、DF,
∵CE是正方形CFEG對角線,
∴∠FCN=∠CEF=45°,
∵∠DCE=90°,
∴∠DCF=45°,
∵AD∥BC,
∴∠DAM=∠NEM,
在△ADM和△ENM中,∠MAD=∠NEM,AM=EM,∠AMD=∠EMN,
∴△ADM≌△ENM(ASA),
∴EN=AD,DM=MN,
∵AD=CD,
∴CD=EN,
在△CDF和△ENF中,
CD=EN,∠DCF=∠CEF=45°,CF=EF,
∴△CDF≌△ENF,(SAS)
∴DF=NF,
∴FM=DM,F(xiàn)M⊥DM.
(3)如圖所示,若CF邊恰好平分線段AE,則CF過點M,
由(1)可得FM=DM,F(xiàn)M⊥DM,
設(shè)FM=DM=1,
∵∠DCF=30°,
∴Rt△DCM中,CM=,CD=2=CB,
∴CF=+1=CG,
∴=.
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【題目】若x2+bx+c=(x+5)(x-3),則點P(b,c)關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)是________.
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【題目】北京市2007年5月份某一周的日最高氣溫(單位:℃)分別為25,28,30,29,31,32,28,這周的日最高氣溫的平均值為( )
A.28℃
B.29℃
C.30℃
D.31℃
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【題目】觀察下列等式:
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102…
(1)根據(jù)觀察得到規(guī)律寫出:13+23+33+43+53═ .
(2)根據(jù)觀察得到規(guī)律寫出13+23+33+43+…+1003= .
(3)13+23+33+43+53+…+n3=
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【題目】我市某中學(xué)舉行“中國夢校園好聲音”歌手大賽,初、高中部根據(jù)初賽成績,各選出5名選手組成初中代表隊和高中代表隊參加學(xué)校決賽.兩個隊各選出的5名選手的決賽成績?nèi)鐖D4所示.
(1)根據(jù)圖示填寫下表:
平均數(shù)(分) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | |
初中部 | 85 | ||
高中部 | 85 | 100 |
(2)結(jié)合兩隊成績的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個隊的決賽成績較好;
(3)計算兩隊決賽成績的方差并判斷哪一個代表隊選手成績較為穩(wěn)定.
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【題目】體育課上,全班男同學(xué)進(jìn)行了100米測驗,達(dá)標(biāo)成績?yōu)?5秒,下表是某小組8名男生的成績測試記錄,其中“+”表示成績大于15秒.問:
﹣0.8 | +1 | ﹣1.2 | 0 | ﹣0.7 | +0.6 | ﹣0.4 | ﹣0.1 |
(1)這個小組男生的達(dá)標(biāo)率為多少?( )
(2)這個小組男生的平均成績是多少秒?
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【題目】不透明的袋子中裝有4個相同的小球,它們除顏色外無其它差別,把它們分別標(biāo)號:1、2、3、4,
(1)隨機摸出一個小球后,放回并搖勻,再隨機摸出一個,用列表或畫樹狀圖的方法求出“兩次取的球標(biāo)號相同”的概率
(2)隨機摸出兩個小球,直接寫出“兩次取出的球標(biāo)號和等于4”的概率.
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【題目】小明從家出發(fā)(記為原點0)向東走3m,他把數(shù)軸上+3的位置記為點A,他又東走了5m,記為點B,點B表示什么數(shù)?接著他又向西走了10m到點C,點C表示什么數(shù)?請你畫出數(shù)軸,并在數(shù)軸上標(biāo)出點A、點B的位置,這時如果小明要回家,則小明應(yīng)如何走?
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點,B(0,6),A(8,0),以點B為旋轉(zhuǎn)中心把△ABO逆時針旋轉(zhuǎn),得△A′BO′,點O,A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為O′,A′,記旋轉(zhuǎn)角為β.
(1)如圖1,若β=90°,求AA′的長;
(2)如圖2,若β=120°,求點O′的坐標(biāo).
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