Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)B（3，0），C（0，3），D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=﹣x2+bx+c對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BC，BE，求∠CBE的正切值；

（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且△DMB和△BCE相似，求點(diǎn)M坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，（1，4）；（2）；（3）（1，）或（1，﹣2）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；

（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求出EH、BH，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可；

（3）分和兩種情況，計(jì)算即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）和點(diǎn)C（0，3）

∴，

解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，

y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），

（2）由（1）可知拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，

∵點(diǎn)E與點(diǎn)C（0，3）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

∴點(diǎn)E（2，3），

過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，

∵OC=OB=3，

∴BC=，

∵，CE=2，

∴，

解得EH=，

∵∠ECH=∠CBO=45°，

∴CH=EH=，

∴BH=2，

∴在Rt△BEH中，；

（3）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)

設(shè)M（1，m），對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)P，則P（1，0），

∴BP=2，DP=4，

∴，

∵，∠CBE、∠BDP均為銳角，

∴∠CBE=∠BDP，

∵△DMB與△BEC相似，

∴或，

①，

∵DM=4﹣m，，，

∴，

解得，，

∴點(diǎn)M（1，）

②，則，

解得m=﹣2，

∴點(diǎn)M（1，﹣2），

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的上方時(shí)，根據(jù)題意知點(diǎn)M不存在．

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，）或（1，﹣2）．