Question

問題背景：某課外學習小組在一次學習研討中，得到如下兩個命題：
①如圖1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=60°，則BM=CN。
②如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=90°，則BM=CN。
然后運用類比的思想提出了如下的命題：
③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，則BM=CN。
任務要求：
（1）請你從①、②、③三個命題中選擇一個進行證明；
（2）請你繼續(xù)完成下面的探索：
①如圖4，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，問當∠BON等于多少度時，結論BM=CN成立？（不要求證明）
②如圖5，在五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點，BM與CN相交于點O，當∠BON=108°時，請問結論BM=CN是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由。
（1）我選
證明：

Answer 1

解：（1）選命題① 證明： 在圖1中，∵∠BON=60°， ∴∠CBM+∠BCN=60°， ∵∠BCN+∠ACN=60°， ∴∠CBM=∠ACN， 又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°， ∴△BCM≌△CAN， ∴BM=CN， 選命題②，證明：在圖2中， ∵∠BON=90°， ∴∠CBM+∠BCN=90°， ∵∠BCN+∠DCN=90°， ∴∠CBM=∠DCN， 又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°， ∴△BCM≌△CDN， ∴BM=CN， 選命題③證明：在圖3中， ∵∠BON=108°， ∴∠CBM+∠BCN=108°， ∵∠BCN+∠DCN=108°， ∴∠CBM=∠DCN， 又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°， ∴△BCM≌△CDN， ∴BM=CN； （2）①當∠BON=時，結論BM=CN成立， ②BM=CN成立， 證明：如圖5，連結BD、CE， 在△BCD和△CDE中， ∵BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE， ∴△BCD≌△CDE， ∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD， ∵∠OBC+∠OCB=108°，∠OCB+∠OCD=108°， ∴∠MBC=∠NCD， 又∵∠DBC=∠ECD=36°， ∴∠DBM=∠ECN， ∴△BDM≌△ECN。