Question

14．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4，點C、D在邊AB上，且∠COD=45°，設AD=x，BC=y．
（1）求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當AC=$\sqrt{2}$時，求△BOD的面積；
（3）當∠BOD=15°時，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）證明△AOD∽△BCO，列比例式可求得y關于x的函數關系式：y=$\frac{16}{x}$，當C、A重合時，x有最小值，當D與B重合時，x有最大值，分別計算出來；
（2）作高線OE，分別計算BD和高線OE的長，利用面積公式計算結果；
（3）作輔助線，構建等腰直角三角形和30°的直角三角形，設AF=x，根據AO=AF+FC列式可得x的值，再計算AC的長．

解答 解：（1）∵∠AOB=90°，OA=OB=4，
∴∠A=∠B=45°，AB=4$\sqrt{2}$，
∵∠ADO=180°∠A-∠AOD，
∠AOD=∠AOC+∠COD，
∴∠ADO=180°-∠A-∠AOC-∠COD，
∵∠COD=45°=∠B，
∴∠ADO=180°-∠A-∠B-∠AOC，
∴∠ADO=∠AOB-∠AOC=∠BOC，
∴△AOD∽△BCO，
∴$\frac{AD}{BO}=\frac{AO}{BC}$，
∵AD=x，BC=y，
∴$\frac{x}{4}=\frac{4}{y}$，
y=$\frac{16}{x}$，
當C、A重合時，x有最小值，
∵∠COD=45°，
∴D為AB的中點，
AD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
x有最小值是2$\sqrt{2}$，
當D與B重合時，x有最大值為4$\sqrt{2}$，
∴2$\sqrt{2}$≤x$≤4\sqrt{2}$；
（2）過O作OE⊥AB于E，
∵OA=OB，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵AC=$\sqrt{2}$，
∴BC=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
即y=3$\sqrt{2}$，
由（1）得：xy=16，
3$\sqrt{2}$x=16，
x=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
∴BD=AB-x=4$\sqrt{2}$-$\frac{8\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴S_△BOD=$\frac{1}{2}$BD•OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{2}}{3}$×$2\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$；
（3）∵∠AOB=90°，∠COD=45°，
∴∠AOC+∠BOD=45°，
∵∠BOD=15°，
∴∠AOC=30°，
過C作CF⊥AO于F，
設AF=x，則FC=x，OC=2x，OF=$\sqrt{3}$x，
∵AO=AF+OF，
∴4=x+$\sqrt{3}$x，
x=2$\sqrt{3}$-2，
∴AC=$\sqrt{2}$AF=$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$（2$\sqrt{3}$-2）=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$．

點評 本題是三角形的綜合題，考查了等腰直角三角形、三角形面積、相似三角形的性質和判定等知識，熟練掌握等腰直角三角形的兩個銳角是45°，根據勾股定理得斜邊就直角邊的$\sqrt{2}$倍，明確直角三角形中，30°角的性質，難度適中．