【題目】如圖,拋物線()的頂點為,對稱軸與軸交于點,當(dāng)以為對角線的正方形的另外兩個頂點、恰好在拋物線上時,我們把這樣的拋物線稱為美麗拋物線,正方形為它的內(nèi)接正方形.
(1)當(dāng)拋物線是美麗拋物線時,則______;當(dāng)拋物線是美麗拋物線時,則______;
(2)若拋物線是美麗拋物線時,則請直接寫出,的數(shù)量關(guān)系;
(3)若是美麗拋物線時,(2),的數(shù)量關(guān)系成立嗎?為什么?
(4)系列美麗拋物線(為小于的正整數(shù))頂點在直線上,且它們中恰有兩條美麗拋物線內(nèi)接正方形面積比為.求它們二次項系數(shù)之和.
【答案】(1),; (2);(3)答:成立.見解析;(4)這兩條美麗拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的二次項系數(shù)和為.
【解析】
(1)分別求出美麗拋物線的頂點A的坐標(biāo),根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點B的坐標(biāo),代入函數(shù)解析式求出a或k;
(2)由(1)得到規(guī)律;
(3)利用拋物線的平移的性質(zhì)即可得到答案;
(4)設(shè)這兩條美麗拋物線的頂點坐標(biāo)分別為和,(,為小的正整數(shù),且),它們的內(nèi)接正方形的邊長比為,解得,得到這兩條美麗拋物線分別為和,根據(jù),,
求出,即可得到答案.
(1)∵拋物線,
∴頂點A的坐標(biāo)為(0,1),
∴BD=OA=1,
∴點B的坐標(biāo)為(-0.5,0.5),
將點B的坐標(biāo)代入,得到0.25a+1=0.5,
解得a=-2,
同理,拋物線是美麗拋物線,
∴頂點A(0,k),
∴B(-, ),
將點B的坐標(biāo)代入,得,
解得k=-4,
故答案為:,;
(2)由(1)知:
當(dāng)a=-2時,k=1;當(dāng)a=時,k=-4,
∴;
(3)答:成立.
∵美麗拋物線沿軸向右或向左平移后得到的拋物線仍然是美麗拋物線.
∴美麗拋物線沿軸經(jīng)過適當(dāng)平移后沿到美拋物線.
∴.
(4)設(shè)這兩條美麗拋物線的頂點坐標(biāo)分別為和,(,為小的正整數(shù),且),它們的內(nèi)接正方形的邊長比為,
∴,
得.
∴這兩條美麗拋物線分別為和.
∵,,
∴,.
∴.
答:這兩條美麗拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的二次項系數(shù)和為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在信息快速發(fā)展的社會,“信息消費”已成為人們生活的重要部分.鄭州市的一個社區(qū)隨機抽取了部分家庭,調(diào)查每月用于信息消費的金額,數(shù)據(jù)整理成如圖所示的不完整統(tǒng)計圖.已知A、B兩組戶數(shù)直方圖的高度比為1:5,請結(jié)合圖中相關(guān)數(shù)據(jù)回答下列問題.
(1)A組的頻數(shù)是 ,本次調(diào)查樣本的容量是 ;
(2)補全直方圖(需標(biāo)明各組頻數(shù));
(3)若該社區(qū)有1500戶住戶,請估計月信息消費額不少于300元的戶數(shù)是多少?
月消費額分組統(tǒng)計表
組別 | 消費額(元) |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知菱形ABCD的頂點A(,0),∠DAB=60°,若動點P從點A出發(fā),沿A→B→C→D→A→B→…的路徑,在菱形的邊上以每秒0.5個單位長度的速度移動,則第2020秒時,點P的坐標(biāo)為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖所示,是的直徑,是上一點,平分交于,過作于.
(1)求證:與相切;
(2)若,,求的長;
(3)若是中點,過作交于,若,,求的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一名在校大學(xué)生利用“互聯(lián)網(wǎng)+”自主創(chuàng)業(yè),銷售一種產(chǎn)品,這種產(chǎn)品的成本價10元/件,已知銷售價不低于成本價,且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于16元/件,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量(件與銷售價(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(2)求每天的銷售利潤W(元與銷售價(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出每件銷售價為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x22(k1)x+ k2+3=0的兩實數(shù)根為x1,x2,設(shè)t=,則t的最大值為( )
A.2B.2C.4D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖).已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣1,0)和點B(0,),頂點為C,點D在其對稱軸上且位于點C下方,將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點C落在拋物線上的點P處.
(1)求這條拋物線的表達式;
(2)求線段CD的長;
(3)將拋物線平移,使其頂點C移到原點O的位置,這時點P落在點E的位置,如果點M在y軸上,且以O、D、E、M為頂點的四邊形面積為8,求點M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=8,BC=6,點E是AD的中點,點F是AB上一動點.將△AEF沿直線EF折疊,點A落在點A'處.在EF上任取一點G,連接GC,GA',CA’,則△CGA'的周長的最小值為__.
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