Question

【題目】在中,BD,CE分別是,平分線,BD,CE相交于點P．

如圖1,如果,則______；

如圖2,如果,不是直角,請問在中所得的結論是否仍然成立？若成立,請證明：若不成立,請說明理由．

小月同學在完成之后,發(fā)現(xiàn)CD、BE、BC三者之間存在著一定的數(shù)量關系,于是她在邊CB上截取了,連接PF,可證≌,請你寫出小月同學發(fā)現(xiàn),并完成她的說理過程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，見解析；（3），見解析.

【解析】

（1）先根據(jù)三角形內角和定理求出∠ABC=90°，再利用角平分線的定義求出∠PCB=45°，∠PBC=15°，最后用三角形的內角和定理即可得出結論；

（2）先根據(jù)角平分線的意義，求出∠ACB=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC，再根據(jù)三角形的內角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，最后用三角形內角和定理即可得出結論；

（3）先判斷出，得出CD=CF，∠DPC=FPC=60°，進而判斷出∠PBF=∠PBE，即可判斷出，最后用等量代換即可得出結論.

解：（1）∵∠A=60°，∠ACB=90°,根據(jù)三角形內角和定理得,

∠ABC=180°-60°-90°=30°

,CE分別是,平分線,

∴∠PCB=∠ACB=45°，∠PBC=∠ABC=15°

在中,根據(jù)三角形的內角和定理得,

∠BPC=180°-∠PCB-∠PBC=180°-45°-15°=120°

故答案為120°；

（2）結論仍然成立,

理由：,CE分別是,平分線,

,,

∵∠A=60°

在中, ∠A+∠ABC+∠ACB=180° ,

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°

∴2∠PCB+2∠PBC=120°,

∴∠PCB+∠PBC=60°

在中, ∠BPC+∠PCB+∠PBC=180°

∴∠BPC=180°-（∠PCB+∠PBC）=180°-60°=120°,

（3）,理由：如圖2,

由知, ∠BPC=120°,

∴DPC=∴EPB=60°,在邊CB上截取了,連接PF,

是的平分線,

,

在和中,,

≌,

,∠DPC=∠FPC=60°,

∴∠FPB=∠BPC-∠FPC=60°=∠EPB,

是的平分線,

,

在和中,,

≌,,

．