問題背景  某課外學習小組在一次學習研討中,得到如下兩個命題:
①如圖1,O是正三角形ABC的中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON=120°,則四邊形OPBQ的面積等于三角形ABC面積的三分之一.
②如圖2,O是正方形ABCD的中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON=90°,則四邊形OPBQ的面積等于正方形ABCD面積的四分之一.
然后運用類比的思想提出了如下的命題:
③如圖3,O是正五邊形ABCDE的中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON=72°,則四邊形OPBQ的面積等于五邊形ABCDE面積的五分之一.
任務要求
(1)請你從①、②、③三個命題中選擇一個進行證明;
(2)請你繼續(xù)完成下面的探索:
如圖4,在正n(n≥3)邊形ABCDEF…中,O是中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON 等于多少度時,則四邊形OPBQ的面積等于正n邊形ABCDE…面積的n分之一?(不要求證明)

【答案】分析:(1)根據(jù)正三角形中心的性質(zhì)得出,∠OAP=∠OBQ以及OA=OB,以及∠APO=∠BQO,進而得出△APO≌△BOQ,
再根據(jù)△OAB的面積與△ABC面積關(guān)系得出命題正確;
(2)根據(jù)規(guī)律得出一般公式即可得出∠MON的度數(shù).
解答:證明:(1)連接OA,OB,
∵OA=OB,∠OAP=∠OBQ,∠ABC+∠POQ=180°,
所以∠OPB+∠OQB=180°,∠APO=∠BQO,
∴△APO≌△BOQ,
所以四邊形OPBQ的面積=三角形OAB的面積.
∴四邊形OPBQ的面積等于三角形ABC面積的三分之一.
所以結(jié)論①成立.

(2)∠MON=度.
點評:此題主要考查了正三角形中心的性質(zhì)以及全等三角形的證明,熟練應用正三角形中心的性質(zhì)得出,∠OAP=∠OBQ以及△OAB的面積與△ABC面積關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

問題背景  某課外學習小組在一次學習研討中,得到如下兩個命題:
①如圖1,O是正三角形ABC的中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON=120°,則四邊形OPBQ的面積等于三角形ABC面積的三分之一.
②如圖2,O是正方形ABCD的中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON=90°,則四邊形OPBQ的面積等于正方形ABCD面積的四分之一.
然后運用類比的思想提出了如下的命題:
③如圖3,O是正五邊形ABCDE的中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON=72°,則四邊形OPBQ的面積等于五邊形ABCDE面積的五分之一.
任務要求
(1)請你從①、②、③三個命題中選擇一個進行證明;
(2)請你繼續(xù)完成下面的探索:
如圖4,在正n(n≥3)邊形ABCDEF…中,O是中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON 等于多少度時,則四邊形OPBQ的面積等于正n邊形ABCDE…面積的n分之一?(不要求證明)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•山西模擬)問題背景  某課外學習小組在一次學習研討中,得到如下命題:
①如圖1,在正三角形ABC中,M、N分別是AC、AB上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=60°,則BM=CN.
②如圖2,在正方形ABCD中,M、N分別是CD、AD上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=90°,則BM=CN.
然后運用類比的思想提出了如下的命題:
③如圖3,在正五邊形ABCDE中,M、N分別是CD、DE上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=108°,則BM=CN.

任務要求
(1)請你對命題③進行證明;
(2)請你繼續(xù)完成下面的探索:如圖4,在五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、AE上的點,BM與CN相交于點O,當∠BON=108°時,請問結(jié)論BM=CN是否還成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:2012年江西撫州市崇仁四中初三第二次月考數(shù)學試卷(帶解析) 題型:解答題

問題背景 某課外學習小組在一次學習研討中,得到如下兩個命題:
①如圖1,O是正三角形ABC的中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON = 120°,則四邊形OPBQ的面積等于三角形ABC面積的三分之一.
②如圖2,O是正方形ABCD的中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON = 90°,則四邊形OPBQ的面積等于正方形ABCD面積的四分之一.
然后運用類比的思想提出了如下的命題:
③如圖3,O是正五邊形ABCDE的中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON = 72°,則四邊形OPBQ的面積等于五邊形ABCDE面積的五分之一.
任務要求 
(1)請你從①、②、③三個命題中選擇一個進行證明;(說明:選①做對的得5分,選②做對的得4分,選③做對的得6分)
(2)請你繼續(xù)完成下面的探索:
如圖④,在正nn≥3)邊形ABCDEF…中,O是中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON等于多少度時,則四邊形OPBQ的面積等于正n邊形ABCDE…面積的n分之一?(不要求證明)
解:(1)我選           .

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科目:初中數(shù)學 來源:2012年江西撫州市初三第二次月考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

問題背景  某課外學習小組在一次學習研討中,得到如下兩個命題:

①如圖1,O是正三角形ABC的中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON = 120°,則四邊形OPBQ的面積等于三角形ABC面積的三分之一.

②如圖2,O是正方形ABCD的中心,∠MON分別與ABBC交于點P,Q,若∠MON = 90°,則四邊形OPBQ的面積等于正方形ABCD面積的四分之一.

然后運用類比的思想提出了如下的命題:

③如圖3,O是正五邊形ABCDE的中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON = 72°,則四邊形OPBQ的面積等于五邊形ABCDE面積的五分之一.

任務要求 

(1)請你從①、②、③三個命題中選擇一個進行證明;(說明:選①做對的得5分,選②做對的得4分,選③做對的得6分)

(2)請你繼續(xù)完成下面的探索:

如圖④,在正nn≥3)邊形ABCDEF…中,O是中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q,若∠MON 等于多少度時,則四邊形OPBQ的面積等于正n邊形ABCDE…面積的n分之一?(不要求證明)

解:(1)我選           .

 

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