Question

已知拋物線y=x²+ax+a-3
（1）求證：不論a取何值，拋物線與x軸總有兩個交點．
（2）當a=5時，求拋物線與x軸的兩個交點間的距離．
（3）直接寫出a=

2

 時，拋物線與x軸的兩個交點間的距離最�。�

Answer 1

分析：（1）求拋物線解析式的判別式，利用配方法判斷△＞0即可；
（2）設拋物線與x軸兩交點橫坐標為x₁，x₂，利用兩根關系求|x₁-x₂|的值；
（3）利用兩根關系求|x₁-x₂|的表達式，利用非負數(shù)的性質求最小值．

解答：解：（1）證明：∵△=a²-4（a-3）=（a-2）²+8＞0，
∴不論a取何值，拋物線與x軸總有兩個交點；

（2）當a=5時，求拋物線為y=x²+5x+2，
設拋物線與x軸兩交點橫坐標為x₁，x₂，
則x₁+x₂=-5，x₁x₂=2，
∴|x₁-x₂|=

(x1-x2) 2

=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

25-8

=

17

，
∴拋物線與x軸的兩個交點間的距離為

17

；

（3）∵x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-3，

∴|x₁-x₂|=

(x1-x2) 2

=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

a2-4a+12

=

(a-2)2+8

，

∴a=2拋物線與x軸的兩個交點間的距離最小，
故答案是2．

點評：本題考查了拋物線 與x軸的交點求法，根的判別式的運用，兩點間的距離的求解．關鍵是熟悉拋物線與x軸的交點個數(shù)的判斷方法，利用兩根關系求兩交點間的距離．