Question

【題目】如圖，拋物線C1：的頂點(diǎn)為A，與x軸的正半軸交于點(diǎn)B．

（1）將拋物線C1上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，求變換后得到的拋物線的解析式；

（2）將拋物線C1上的點(diǎn)（x，y）變?yōu)椋╧x，ky）（|k|＞1），變換后得到的拋物線記作C2，拋物線C2的頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在拋物線C2上，滿(mǎn)足S△PAC=S△ABC，且∠APC=90°．

①當(dāng)k＞1時(shí)，求k的值；

②當(dāng)k＜﹣1時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出k的值，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①k=；②k=．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線C1解析式求出A、B及原點(diǎn)坐標(biāo)，將三點(diǎn)坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，待定系數(shù)求解可得；

（2）①如圖1中，當(dāng)k＞1時(shí)，與（1）同理可得拋物線C2的解析式為及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)S△PAC=S△ABC知BP∥AC，繼而可得△ABO是邊長(zhǎng)為2的正三角形，四邊形CEBP是矩形，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將其代入到拋物線C2解析式可求得k的值；

②如圖2中，當(dāng)k＜﹣1時(shí)，作△ABO關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A′B′O，OE′⊥A′B′，同理可得四邊形CEBP是矩形，先求出拋物線C2解析式，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將其代入到拋物線C2解析式可求得k的值；

試題解析：（1）∵=，∴拋物線C1經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，點(diǎn)A（1，）和點(diǎn)B（2，0）三點(diǎn)，∴變換后的拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，（2，）和（4，0）三點(diǎn)，∴變換后拋物線的解析式為；

（2）①如圖1中，當(dāng)k＞1時(shí)，∵拋物線C2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，（k，k），（2k，0）三點(diǎn)，∴拋物線C2的解析式為，∴O、A、C三點(diǎn)共線，且頂點(diǎn)C為（k，k），

如圖，∵S△PAC=S△ABC，∴BP∥AC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AO于E，由題意知△ABO是邊長(zhǎng)為2的正三角形，四邊形CEBP是矩形，∴OE=1，CE=BP=2k﹣1，∵∠PBD=60°，∴BD=，PD=（2k﹣1），∴P（k+，（2k﹣1）），∴（2k﹣1）=，解得：k=；

②如圖2中，當(dāng)k＜﹣1時(shí)，∵拋物線C2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，（k，k），（2k，0）三點(diǎn)，∴拋物線C2的解析式為，∴O、A、C′三點(diǎn)共線，且頂點(diǎn)C′為（k，k），作△ABO關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A′B′O，OE′⊥A′B′，∵S△PAC′=S△ABC=S△AC′B′，∴A′P∥AC′，由題意四邊形PC′OE′是矩形，∴PE′=OC′=﹣2k，B′E′=1，PB′=﹣2k﹣1，在RT△PDB′中，∵∠PDB′=90°，∠PB′D=∠A′B′O=60°，∴DB′=PB′=，DP=（﹣2k﹣1），∴點(diǎn)P坐標(biāo)[，（2k+1）]，∴（2k+1）=，∴k=．