Question

【題目】如圖，一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4．

（1）________，________；

（2）設(shè)二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，與軸的另一個交點(diǎn)為，連接、，求的正弦值；

（3）①若點(diǎn)在軸下方二次函數(shù)圖像上，過點(diǎn)作軸平行線交直線于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫圓，求在直線上截得的弦長的最大值．

②若∠ABM=∠ACO，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_________

Answer 1

【答案】（1）；－3；（2）；（3）①在直線上截得的弦長的最大值等于最大值的2倍，等于．②

【解析】

（1）根據(jù)條件，易求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，將其代入二次函數(shù)中，得到關(guān)于b，c的方程組求解即可.

（2）作于F，易知，從而得到，分別用勾股定理和銳角三角函數(shù)求出AC，AF的長，在直角三角形ACF中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求得的正弦值.

（3）①作于，易知，故，得到，即，設(shè)，則有，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題即可求得ET的最大值，進(jìn)而求得在直線上截得的弦長的最大值；

②關(guān)鍵是利用勾股定理求得AP=的值，得到故點(diǎn)，再求出直線PB的解析式，進(jìn)而利用相交法求得點(diǎn)M坐標(biāo)．

解：（1）一次函數(shù)解析式，當(dāng)x=4是，y=3，∴B(4，3)；

當(dāng)y=0時，x=-2，∴A(-2,0)，又點(diǎn)A、B在二次函數(shù)的圖像上，

∴，解得，

故答案為：，－3

（2）對于，令，則，∴

令，得，解得：，，∴，

∴，

∴

作于F，∵，

∴，

∵

∴，

∴的正弦值為．

（3）①作于，

設(shè)一次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，則

∵，∴，∴，

∵軸，∴，∴，

∴，∴，

設(shè)，則

∴

∴

∴當(dāng)時，的最大值等于，

∴在直線上截得的弦長的最大值等于最大值的2倍，等于．

如圖3，設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)H（0，1），直線BM交x軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，

由直線AB的表達(dá)式知tan ∠BAO=，則

在Rt△AQD中,tan∠QAD=tan ∠BAO==
在Rt△AOC中，tan∠ACO=，

又∵∠ABM=∠ACO

tan∠ABM=tan∠ACO=，
設(shè)PQ=2x，則QB=3x，AQ=4x，

則 解得：

又，

故點(diǎn)

由點(diǎn)B，P的坐標(biāo)得，直線PB的表達(dá)式為，令①，

聯(lián)立①②得：

解得：或（與B重合，舍去），將x=代入得y=

故點(diǎn)，

故答案為：