Question

如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．
（1）求∠BAE的度數(shù)；
（2）求∠DAE的度數(shù)；
（3）探究：有同學(xué)認(rèn)為，不論∠B，∠C的度數(shù)是多少，都有∠DAE=

1

2

（∠B-∠C）成立，你同意嗎？你能說(shuō)出成立或不成立的理由嗎？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE的度數(shù)即可；
（2）根據(jù)AD⊥BC及三角形內(nèi)角和定理可求出∠BAD的度數(shù)，再由（1）中求出的∠BAE的度數(shù)即可求出∠DAE的度數(shù)；
（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)用∠B、∠C表示出∠BAE的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)用∠B表示出∠BAD的度數(shù)，再把兩角相減即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×80°=40°；

（2）∵AD⊥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∵∠BAE=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°；

（3）成立．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

（180°-∠B-∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=

1

2

（180°-∠B-∠C）-90°+∠B=

1

2

（∠B-∠C）．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，涉及面較廣，難度適中．