Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AC是對(duì)角線(xiàn)，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，直角頂點(diǎn)P在射線(xiàn)AC上移動(dòng)，另一邊交DC于Q．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，探究PB與PQ所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系；
小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：
過(guò)P點(diǎn)作PE⊥DC于E點(diǎn)，PF⊥BC于F點(diǎn)，
根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)，得出PE=PF，
再證明△PEQ≌△PFB，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，猜想并寫(xiě)出PB與PQ滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）PB=PQ
（2）證明：過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，

∵P，C為正方形對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四邊形PECF為正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ．

【解析】解：（1）結(jié)論：PB=PQ，

理由：過(guò)P作PF⊥BC，PE⊥CD，

∵P，C為正方形對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四邊形PECF為正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠QPF+∠QPE=90°，

∴∠BPF=∠QPE，

在△PEQ和△PFB中，

，

∴Rt△PQE≌Rt△PBF，

∴PB=PQ；

所以答案是PB=PQ．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握定理1：在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．