Question

【題目】（1）觀察推理：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l過點C，點A、B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D、E．求證：△AEC≌△CDB；

（2）類比探究：如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，將斜邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AB′，連接B′C，求△AB′C的面積．

（3）拓展提升：如圖3，等邊△EBC中，EC=BC=4cm，點O在BC上，且OC=3cm，動點P從點E沿射線EC以2cm/s速度運動，連結(jié)OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF．要使點F恰好落在射線EB上，求點P運動的時間ts．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）18；（3）2.5秒．

【解析】

（1）利用同角的余角相等判斷出∠CAE=∠BCD，即可得出結(jié)論；

（2）先作出高，進而判斷出△ABC≌△B'AG，求出B'G，最后用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；

（3）利用等式的性質(zhì)得出，∠CPO=∠BOF，進而判斷出△BOF≌△PCO，即可求出CP=1，即可得出結(jié)論．

（1）∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠CDB=90°，

∴∠CAE+∠ACE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠BCD=90°，

∴∠CAE=∠BCD，

在△ACE和△CBD中，，

∴△ACE≌△CBD；

（2）如圖2，過點B'作B'G⊥AC于G，

∴∠B'AG+∠AB'G=90°，

∵∠BAB'=90°，

∴∠BAC+∠B'AG=90°，

∴∠AB'G=∠BAC，由旋轉(zhuǎn)知，AB=AB'，

在△ABC和△B'AG中，，

∴△ABC≌△B'AG，

∴B'G=AC=6，

∴S△ACB'=AC×B'G=18；

（3）如圖3，

由旋轉(zhuǎn)知，OP=OF，

∵△BCE是等邊三角形，

∴∠CBE=∠BCE=60°，

∴∠OCP=∠FBO=120°，∠CPO+∠COP=60°，

∵∠POF=120°，

∴∠COP+∠BOF=60°，

∴∠CPO=∠BOF，

在△BOF和△PCO中，，

∴△BOF≌△PCO，

∴CP=OB，

∵EC=BC=4cm，OC=3cm，

∴OB=BC﹣OC=1，

∴CP=1，

∴EP=CE+CP=5，

∴點P運動的時間t=5÷2=2.5秒．