Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥PC于點(diǎn)D，AD與⊙O交于點(diǎn)E．

（1）求證：AC平分∠DAB．

（2）若AB＝10，sin∠CAB＝，請(qǐng)寫(xiě)出求DE長(zhǎng)的思路．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）連接OC，PD切⊙O于點(diǎn)C，AD⊥PC于點(diǎn)D得到∠EAC＝∠ACO，且OA＝OC即可得到∠EAC＝∠CAO得出結(jié)論.

（2）連接CE，由（1）中可得Rt△CDE∽R(shí)t△ACB得出，即可求出BC，∠EAC＝∠CAB根據(jù)圓的性質(zhì)易得EC＝BC＝4，故得出DE＝.

（1）證明：連接OC，

∵PD切⊙O于點(diǎn)C，

∴OC⊥PC，

∵AD⊥PC于點(diǎn)D，

∴OC∥AD，

∴∠EAC＝∠ACO．

又∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠OAC，

∴∠EAC＝∠CAO，

即AC平分∠DAB．

（2）解：連接CE，

可證：Rt△CDE∽Rt△ACB，

∴，

在Rt△ABC中，由AB＝10，sin∠CAB＝，

∴BC＝4，

由∠EAC＝∠CAB，得，

∴EC＝BC＝4．

故DE＝可求．