Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A（-3，0），B（0，0），若點(diǎn)C在一次函數(shù)y=-x+2的圖象上，要使△ABC的周長最短，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題,一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：作B關(guān)于直線y=-x+2的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，交直線y=-x+2于C，C即為所求的點(diǎn)；根據(jù)直線的解析式求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即可求得B關(guān)于直線y=-x+2的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線AB′的解析式，和直線y=-x+2的解析式聯(lián)立方程即可求得C的坐標(biāo)．

解答：解：如圖，作B關(guān)于直線y=-x+2的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，交直線y=-x+2于C，此時(shí)△ABC的周長最短；
∵一次函數(shù)y=-x+2交x軸（2，0），交y軸（0，2），
∴B（0，0）關(guān)于直線y=-x+2的對稱點(diǎn)為（2，2），
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b，
∴

-3k+b=0 2k+b=2

，解得

k= 2 5 b= 6 5

，
∴直線AB′的解析式為y=

2

5

x+

6

5

，
∵

y= 2 5 x+ 6 5 y=-x+2

，解得

x= 4 7 y= 10 7

，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（

4

7

，

10

7

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對稱軸的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，得到享受求解析式以及直線的交點(diǎn)的求法，作出對稱點(diǎn)是本題的關(guān)鍵．