Question

如圖，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

4

x

（ x＞0）的圖象上，且OB=

17

，AB⊥OA，AB=4OA．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將三角形OAB沿OB折疊，使A點(diǎn)落在點(diǎn)A′處，A′B與y軸交于點(diǎn)F，求線段BF的長度；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使三角形OBP是直角三角形？如果存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB=4OA，設(shè)OA=b，可得出AB=4b，在直角三角形AOB中，由OB的長，利用勾股定理列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出B的坐標(biāo)；
（2）如圖2，過B作BE垂直于x軸，由BA與y軸平行，得到一對內(nèi)錯角相等，再由折疊的性質(zhì)得到一對角相等，等量代換得到∠OFB=∠OBF，利用等角對等邊得到BF=OF，由OE=4，設(shè)OF=BF=x，得到EF=4-x，根據(jù)BE=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出BF的長；
（3）如圖1所示，分三種情況考慮：當(dāng)∠BPO=90°時，根據(jù)B的縱坐標(biāo)求出P₁的坐標(biāo)；當(dāng)∠OBP=90°時，由一對直角相等及一對公共角，得到△OBP₁∽△OP₂B，由相似得比例得到OB²=OP₁•OP₂，求出OP₂的長，確定出P₂的坐標(biāo)；當(dāng)∠POB=90°時不存在，綜上，得到滿足題意P的坐標(biāo)．

解答：
解：（1）由AB=4OA，設(shè)OA=b，得到AB=4b，
在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：OB²=AB²+OA²，即17=b²+16b²，
解得：b=1，得到AB=4，OA=1，
∴B（1，4）；

（2）如圖2，過B作BE⊥y軸，由B（1，4），得到BE=1，OE=4，
∵AB∥y軸，
∴∠FOB=∠ABO，
由折疊得：∠ABO=∠A′BO，
∴∠FOB=∠A′BO，
∴FB=FO，
設(shè)EF=x，可得FB=FO=OE-EF=4-x，
在Rt△BEF中，利用勾股定理得：x²=（4-x）²+1，
解得：x=

17

8

，
則BF=4-

17

8

=

15

8

；

（3）存在，如圖1所示，
當(dāng)∠BPO=90°時，P₁（0，4）；
當(dāng)∠OBP=90°時，
∵∠P₁OB=∠BOP₂，∠BP₁O=∠P₂OB=90°，
∴△OBP₁∽△OP₂B，
∴OB²=OP₁•OP₂，即17=4OP₂，
∴OP₂=

17

4

，即P₂（0，

17

4

）；
當(dāng)∠POB=90°時不存在，
綜上，P的坐標(biāo)為（0，4）或（0，

17

4

）．

點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了方程及分類討論的思想，分類討論時注意考慮問題要全面．