Question

（2006•連云港）如圖，⊙O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC至點D，使CD=AC，連接AD交⊙O與點E，連接BE、CE，BE交AC于點F．
（1）求證：△ABE≌△CDE；
（2）若AE=6，DE=9，求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明∠AEB=∠ACB=∠ABC=∠CED，證得△ABE≌△CDE．
（2）證明△AEF∽△DEC，推出=即可求得EF的長．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCE為圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴∠CED=∠ACB，
又∠AEB和∠ACB都為所對的圓周角，
∴∠AEB=∠ACB，
∴∠CED=∠AEB，
∵AB=AC，CD=AC，
∴AB=CD，
在△ABE和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（AAS）．

（2）解：∵△ABE≌△CDE，
∴AE=EC=6，ED=BE=9，
即=，且∠AEB=∠CED，
∴△AEF∽△DEC，
∴=．
∴EF==4．
點評：本題綜合考查了垂徑定理、圓周角定理的運用相似三角形的判定和應(yīng)用．