Question

如圖，在長方形ACDF中，AC=DF，點B在CD上，點E在DF上，BC=DE=a，AC=BD=b，AB=BE=c，且AB⊥BE．
（1）用兩種不同的方法表示長方形ACDF的面積S
方法一：S=

ab+b²

方法二：S=

ab+

1

2

b²-

1

2

a²+

1

2

c²．

（2）求a，b，c之間的等量關系（需要化簡）
（3）請直接運用（2）中的結論，求當c=5，a=3，S的值．

Answer 1

分析：（1）方法一，根據(jù)矩形的面積公式就可以直接表示出S；
方法二，根據(jù)矩形的面積等于四個三角形的面積之和求出結論即可；
（2）根據(jù)方法一與方法二的S相等建立等式就可以表示出a，b，c之間的等量關系；
（3）先由（2）的結論求出b的值，然后代入S的解析式就可以求出結論．

解答：解：（1）由題意，得
方法一：S₁=b（a+b）=ab+b²
方法二：S₂=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

（b-a）（b+a）+

1

2

c²，
=ab+

1

2

b²-

1

2

a²+

1

2

c²．

（2）∵S₁=S₂，
∴ab+b²=ab+

1

2

b²-

1

2

a²+

1

2

c²，
∴2ab+2b²=2ab+b²-a²+c²，
∴a²+b²=c²．

（3）∵a²+b²=c²．且c=5，a=3，
∴b=4，
∴S=3×4+16
=28．
答：S的值為28．
故答案為：ab+b²，ab+

1

2

b²-

1

2

a²+

1

2

c²．

點評：本題考查了整式的混合運算的運用，矩形的面積公式的運用，三角形的面積公式的運用，化簡求值的運用．