Question

17．已知：如圖在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個結論：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE²=2（AD²+AB²）-CD²，其中結論正確的個數是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由條件證明△ABD≌△ACE，就可以得到結論；
②由條件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠ABD=∠ACE就可以得出結論；
③由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°，進而得出結論；
④△BDE為直角三角形就可以得出BE²=BD²+DE²，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE²=2AD²，BC²=2AB²，就有BC²=BD²+CD²就可以得出結論．

解答 解：如圖：
①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∴①正確；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°．
∴∠ACE+∠DBC=45°，∴③正確；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠AFB=90°，
∴∠ACE+∠AFB=90°．
∵∠DFC=∠AFB，
∴∠ACE+∠DFC=90°，
∴∠FDC=90°．
∴BD⊥CE，∴②正確；
④∵BD⊥CE，
∴BE²=BD²+DE²，
∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴DE²=2AD²，BC²=2AB²，
∵BC²=BD²+CD²，
∴2AB²=BD²+CD²，
∴BD²=2AB²-CD²，
∴BE²=BD²+DE²=2AB²-CD²+2AD²=2（AD²+AB²）-CD²，
∴④正確．
故選D．

點評 本題考查了全等三角形的判定及性質的運用，垂直的判定及性質的運用，等腰直角三角形的性質的運用，勾股定理的運用，解答時運用全等三角形的性質求解是關鍵．