Question

【題目】已知點(diǎn)A、O、B在一條直線上,將射線OC繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,得到射線OD,在旋轉(zhuǎn)過程中,射線OC始終在直線AB上方,且OE平分∠AOD.約定,無論∠AOD大小如何,OE都看作是由OA、OD兩邊形成的最小角的平分線.

(1)如圖,當(dāng)∠AOC=30°時(shí),∠BOD=_________°；

(2)若射線OF平分∠BOC,求∠EOF的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）60；（2）45°或135°

【解析】

（1）根據(jù)平角定義即可得出結(jié)論；

（2）分兩種情況討論：①當(dāng)OC、OD都在直線AB上方時(shí)；當(dāng)OC在直線AB上方，OD在直線AB下方時(shí)．

（1）∵∠AOC=30°，∠COD=90°，∴∠BOD=180°－∠AOC－∠COD=180°－30°－90°=60°．

（2）分兩種情況討論：

①當(dāng)OC、OD都在直線AB上方時(shí)，如圖1．設(shè)∠AOC=x，則∠BOC=180°－x．

∵∠COD=90°，∴∠AOD=90°+x，∠BOD=90°－x．

∵OE平分∠AOD，∴∠EOD=∠AOD=（90°+x）=45°+0.5x．

∵OF平分∠BOC，∴∠BOF=∠BOC=（180°－x）=90°－0.5x，∴∠FOD=∠BOF－∠BOD=（90°－0.5x）－（90°－x）=0.5x，∴∠EOF=∠EOD－∠DOF=（45°+0.5x）－0.5x=45°．

②當(dāng)OC在直線AB上方，OD在直線AB下方時(shí)，如圖2．

設(shè)∠AOC=x，則∠BOC=180°－x．

∵∠COD=90°，∴∠AOD=360°-90°－x=270°－x，∠BOD=180°－∠AOD=180°－（270°－x）=x－90°．

∵OE平分∠AOD，∴∠EOD=∠AOD=（270°－x）=135°－0.5x．

∵OF平分∠BOC，∴∠BOF=∠BOC=（180°－x）=90°－0.5x，∴∠FOD=∠BOF+∠BOD=（90°－0.5x）+（x－90°）=0.5x，∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=（135°－0.5x）+0.5x=135°．

綜上所述：∠EOF的度數(shù)為45°或135°．